Математика · 7 класс · Математика ФГОС · урок 10 · только теория
Степень с натуральным показателем
Степень с натуральным показателем — это способ краткой записи умножения одинаковых чисел. Мы научимся понимать, что такое основание и показатель, как вычислять степени и зачем они нужны в реальной жизни.
Чему учимся понимать
Научиться понимать, что такое степень, как её вычислять и применять для записи больших и малых чисел.
Зачем это нужно
Степени помогают записывать очень большие числа (расстояния в космосе, количество клеток в организме) и очень маленькие (размеры атомов), а также лежат в основе многих научных и технических расчётов.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Степень с натуральным показателем — это произведение одинаковых множителей.
- Основание степени — число, которое умножается само на себя.
- Показатель степени — число, показывающее, сколько раз основание умножается само на себя.
- Возведение в степень — это действие, обратное извлечению корня (для натуральных показателей).
- Степень с показателем 1 равна основанию.
- Степень с показателем 0 (для ненулевого основания) равна 1.
- При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.
- При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются.
Определения
- Степень
- Краткая запись произведения одинаковых чисел. Например, 2³ = 2·2·2.
- Основание степени
- Число, которое умножается само на себя. В выражении 5³ основание — 5.
- Показатель степени
- Число, показывающее, сколько раз основание умножается само на себя. В выражении 5³ показатель — 3.
- Натуральный показатель
- Показатель, который является натуральным числом (1, 2, 3, ...).
- Квадрат числа
- Вторая степень числа, например, 4² = 4·4 = 16.
- Куб числа
- Третья степень числа, например, 3³ = 3·3·3 = 27.
Ключевые факты и правила
- a¹ = a для любого числа a.
- a⁰ = 1 для любого a ≠ 0 (0⁰ не определено).
- При умножении степеней с одинаковыми основаниями: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
- При делении степеней с одинаковыми основаниями: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0, m > n).
- При возведении степени в степень: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ.
- Степень числа с отрицательным основанием: если показатель чётный, результат положительный; если нечётный — отрицательный.
Теория
Пойми, что степень — это сокращение для умножения одинаковых чисел.
Научись определять основание и показатель степени.
Вычисляй степень, перемножая основание само на себя столько раз, сколько указано в показателе.
Запомни особые случаи: показатель 1 и показатель 0.
Изучи свойства степеней для упрощения выражений.
Примеры
- Пример 1случай
- Площадь квадрата со стороной 5 см равна 5² = 25 см²
- Пример 2случай
- Объём куба с ребром 3 м равен 3³ = 27 м³
- Пример 3случай
Расстояние от Земли до Солнца примерно 1,5·10⁸ км
Пояснение
- это степень с основанием 10
Интересно знать
- Число 10 в степени 100 называется гугол, а 10 в степени гугол — гуголплекс.
- Квадрат числа 111111111² равен 12345678987654321 — это красивая закономерность.
- Степени двойки используются в компьютерах: 2¹⁰ = 1024 — это килобайт.
Связанные темы
- Умножение и деление рациональных чисел
- Обыкновенные дроби
- Площади и объёмы фигур
- Стандартный вид числа