Признаки делимости, разложения на множители натуральных чисел

Научиться понимать признаки делимости и использовать разложение на множители для решения задач.

В жизни признаки делимости помогают быстро делить поровну, проверять вычисления, а разложение на множители лежит в основе криптографии, работы компьютеров и даже музыкальной гармонии.

• Натуральное число a делится на натуральное число b, если существует такое натуральное число k, что a = b · k.
• Признаки делимости позволяют быстро определить, делится ли число на 2, 3, 5, 9, 10, не выполняя деления.
• Любое составное число можно представить в виде произведения простых множителей, и такое представление единственно (с точностью до порядка множителей).
• Разложение на простые множители помогает находить наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК).
• Число 1 не является ни простым, ни составным, так как имеет только один делитель — само себя.

Делимость

Свойство одного числа делиться на другое без остатка. Например, 12 делится на 3, потому что 12 = 3 · 4.

Делитель

Натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, для числа 10 делителями являются 1, 2, 5 и 10.

Кратное

Число, которое делится на данное число без остатка. Например, числа 15, 30, 45 — кратные числа 15.

Простое число

Натуральное число, которое имеет ровно два различных делителя: 1 и само себя. Например, 2, 3, 5, 7, 11.

Составное число

Натуральное число, которое имеет более двух делителей. Например, 4, 6, 8, 9, 12.

Разложение на множители

Представление числа в виде произведения двух или более множителей, обычно простых. Например, 60 = 2 · 2 · 3 · 5.

Признак делимости

Правило, позволяющее быстро определить, делится ли одно число на другое, без выполнения самого деления.

• Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8).
• Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Например, 123: 1+2+3=6, 6 делится на 3, значит 123 делится на 3.
• Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
• Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, 729: 7+2+9=18, 18 делится на 9, значит 729 делится на 9.
• Признак делимости на 10: число делится на 10, если его последняя цифра 0.
• Основная теорема арифметики: любое натуральное число, большее 1, можно разложить на простые множители единственным образом (с точностью до порядка множителей).

1. Пример 1расчёт
   • Чтобы разделить 36 конфет поровну между 4 друзьями, можно не делить столбиком: 36 делится на 4
   • так как 36 = 4 · 9, значит каждый получит по 9 конфет
2. Пример 2расчёт

   Число 210 можно разложить на простые множители

   Решение

   • 210 = 2 · 3 · 5 · 7
   • Это помогает понять, что 210 делится на 2, 3, 5 и 7
3. Пример 3расчёт
   • Признак делимости на 3 помогает быстро проверить
   • можно ли разделить 123456 на 3: сумма цифр 1+2+3+4+5+6=21, 21 делится на 3, значит число делится на 3

• Число 2 — единственное чётное простое число, потому что любое другое чётное число делится на 2 и имеет больше двух делителей.
• Простые числа используются в современной криптографии: чтобы взломать код, нужно разложить на множители огромное число, а это очень трудно даже для суперкомпьютеров.
• Древние греки, в частности Евклид, доказали, что простых чисел бесконечно много, и это доказательство используется до сих пор.

• Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
• Обыкновенные дроби
• Степень числа