Реальные зависимости. Прямая и обратная пропорциональности

Научиться распознавать, описывать формулой и анализировать прямую и обратную пропорциональные зависимости между величинами.

Прямая и обратная пропорциональности — это простейшие модели реальных ситуаций. Понимание этих зависимостей помогает прогнозировать результаты, планировать расходы, рассчитывать время в пути, дозировать лекарства и даже понимать физические законы (например, закон Ома).

• Если одна величина увеличивается в несколько раз, и другая увеличивается во столько же раз, то это прямая пропорциональность.
• Если одна величина увеличивается в несколько раз, а другая уменьшается во столько же раз, то это обратная пропорциональность.
• Прямая пропорциональность описывается формулой y = kx, где k — постоянное число (коэффициент пропорциональности).
• Обратная пропорциональность описывается формулой y = k/x, где k — постоянное число (коэффициент пропорциональности).
• График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат.
• График обратной пропорциональности — гипербола, состоящая из двух ветвей.
• Коэффициент пропорциональности показывает, во сколько раз одна величина больше другой (для прямой) или чему равно их произведение (для обратной).

Прямая пропорциональность

Зависимость, при которой отношение двух величин постоянно. Если одна величина растёт, то и другая растёт во столько же раз.

Обратная пропорциональность

Зависимость, при которой произведение двух величин постоянно. Если одна величина растёт, то другая уменьшается во столько же раз.

Коэффициент пропорциональности

Постоянное число в формуле зависимости. Для прямой пропорциональности это k в формуле y = kx, для обратной — k в формуле y = k/x.

Гипербола

График обратной пропорциональности — кривая, состоящая из двух ветвей, расположенных в первой и третьей (или второй и четвёртой) координатных четвертях.

• Формула прямой пропорциональности: y = kx, где k ≠ 0. Если k > 0, то график проходит через I и III четверти; если k < 0 — через II и IV.
• Формула обратной пропорциональности: y = k/x, где k ≠ 0 и x ≠ 0. Если k > 0, ветви гиперболы лежат в I и III четвертях; если k < 0 — во II и IV.
• В прямой пропорциональности отношение y/x = k всегда одинаково для любой пары значений.
• В обратной пропорциональности произведение x·y = k всегда одинаково для любой пары значений.
• График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат (0;0).
• График обратной пропорциональности не пересекает оси координат, он лишь приближается к ним (асимптоты).

1. Пример 1случай

   Покупка конфет

   Пояснение

   • если 1 кг стоит 200 рублей, то 2 кг стоят 400 рублей, 3 кг — 600 рублей
   • Цена и количество — прямо пропорциональны (коэффициент 200)
2. Пример 2случай

   Путь из дома в школу

   Пояснение

   • если ехать на велосипеде со скоростью 15 км/ч, то время в пути одно, а если идти пешком со скоростью 5 км/ч — время втрое больше
   • Скорость и время — обратно пропорциональны (произведение равно расстоянию)
3. Пример 3случай

   Насос качает воду

   Пояснение

   • чем больше насосов работает одновременно, тем меньше времени нужно, чтобы заполнить бассейн
   • Число насосов и время работы — обратно пропорциональны
4. Пример 4случай

   Рост человека и его возраст в детстве

   Пояснение

   • в некоторые периоды рост увеличивается примерно пропорционально возрасту (но это лишь приблизительная модель)

• Закон Ома в физике (I = U/R) — это пример обратной пропорциональности: при постоянном напряжении сила тока уменьшается с ростом сопротивления.
• В музыке частота звука струны обратно пропорциональна её длине: чем короче струна, тем выше звук.
• Скорость и время в пути при фиксированном расстоянии — обратно пропорциональные величины: чем больше скорость, тем меньше времени нужно.

• Линейная функция и её график
• Отношения и пропорции
• Решение уравнений
• Функция y = k/x и её свойства
• Проценты