Преобразование буквенных выражений, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых

Научиться упрощать буквенные выражения, правильно раскрывая скобки и складывая подобные слагаемые.

Упрощение выражений — это база для решения уравнений, работы с формулами в физике и экономике. Без этого навыка невозможно быстро и без ошибок считать, например, площадь сложной фигуры или стоимость покупки со скидкой.

• Раскрыть скобки — значит записать выражение без скобок, используя правила знаков и распределительный закон.
• Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью (например, 3x и -5x).
• Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.
• Если перед скобкой стоит знак «+», то все знаки внутри скобок сохраняются.
• Если перед скобкой стоит знак «−», то все знаки внутри скобок меняются на противоположные.
• Упрощение выражения не меняет его значения, но делает запись короче и удобнее для дальнейших вычислений.

Буквенное выражение

Выражение, которое содержит числа, буквы и знаки действий, например, 3a + 2b − 7.

Раскрытие скобок

Преобразование выражения, при котором убираются скобки, а знаки слагаемых внутри меняются по правилам.

Подобные слагаемые

Слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть, например, 4x и −2x.

Коэффициент

Числовой множитель перед буквенной частью, например, в выражении 7x коэффициент равен 7.

Приведение подобных слагаемых

Сложение коэффициентов подобных слагаемых с сохранением их общей буквенной части.

• Распределительный закон: a(b + c) = ab + ac. Он позволяет умножать число на сумму, раскрывая скобки.
• Правило знаков при раскрытии скобок: если перед скобкой стоит «+», то знаки не меняются; если «−», то все знаки меняются на противоположные.
• Подобные слагаемые можно складывать и вычитать только если у них одинаковая буквенная часть (например, 3x и 5x, но не 3x и 5y).
• При приведении подобных слагаемых коэффициенты складываются, а буквенная часть остаётся прежней: 3x + 5x = 8x.
• Если коэффициент равен 1 или −1, то его обычно не пишут: x означает 1x, −x означает −1x.

1. Пример 1расчёт

   Раскрытие скобок со знаком «+»

   Решение

   • (3a + 2b) + (a − b) = 3a + 2b + a − b = 4a + b
2. Пример 2расчёт

   Раскрытие скобок со знаком «−»

   Решение

   • (5x − 3) − (2x + 1) = 5x − 3 − 2x − 1 = 3x − 4
3. Пример 3расчёт

   Приведение подобных

   Решение

   • 7m − 2m + 3m = (7 − 2 + 3)m = 8m
4. Пример 4случай

   В жизни

   Пояснение

   • если вы покупаете 3 тетради по x рублей и 2 ручки по y рублей, то стоимость покупки можно записать как 3x + 2y
   • Если позже вы решите купить ещё 2 тетради, то выражение станет 5x + 2y — это и есть приведение подобных

• Слово «коэффициент» происходит от латинского coefficiens — «содействующий». Коэффициент как бы «помогает» букве, показывая, сколько раз она взята.
• В древности математики не использовали буквы — всё записывали словами. Буквенные обозначения ввёл Франсуа Виет в XVI веке, что позволило решать целые классы задач одной формулой.
• Раскрытие скобок — это, по сути, применение распределительного закона, который был известен ещё древним грекам, но в буквенной форме его записали только в Новое время.

• Уравнения с одной переменной
• Линейные уравнения
• Формулы сокращённого умножения