Математика · 7 класс · Математика ФГОС · урок 34 · только теория
Свойства степени с натуральным показателем
Эта тема — про то, как удобно записывать и преобразовывать выражения с повторяющимся умножением. Мы научимся применять пять основных свойств степеней, чтобы упрощать вычисления и видеть закономерности в больших числах.
Чему учимся понимать
Научиться понимать и применять свойства степени с натуральным показателем для упрощения выражений и вычислений.
Зачем это нужно
Свойства степеней — это язык науки и техники: от вычисления площадей и объёмов до описания роста популяций, работы алгоритмов и даже количества атомов во Вселенной. Они позволяют компактно записывать огромные числа и быстро выполнять действия с ними.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Степень с натуральным показателем — это сокращённая запись произведения одинаковых множителей.
- При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели складываются.
- При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а из показателя делимого вычитают показатель делителя.
- При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются.
- Степень произведения равна произведению степеней каждого множителя.
- Степень частного равна частному степеней делимого и делителя.
- Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
- Свойства степеней позволяют упрощать громоздкие вычисления и записывать результаты компактно.
Определения
- Степень с натуральным показателем
- Выражение вида aⁿ, где a — основание (любое число), n — натуральный показатель (1, 2, 3, ...). Это произведение n множителей, каждый из которых равен a.
- Основание степени
- Число, которое умножается само на себя. Например, в 5³ основание — 5.
- Показатель степени
- Натуральное число, показывающее, сколько раз основание умножается само на себя. Например, в 5³ показатель — 3.
- Умножение степеней с одинаковыми основаниями
- Правило: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, нужно оставить основание тем же, а показатели сложить.
- Деление степеней с одинаковыми основаниями
- Правило: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (при a ≠ 0 и m > n). Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, нужно оставить основание тем же, а из показателя делимого вычесть показатель делителя.
- Возведение степени в степень
- Правило: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ. Чтобы возвести степень в степень, нужно оставить основание тем же, а показатели перемножить.
- Степень произведения
- Правило: (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ. Чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить.
- Степень частного
- Правило: (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ (при b ≠ 0). Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель отдельно.
Ключевые факты и правила
- a¹ = a — любое число в первой степени равно самому себе.
- a⁰ = 1 (при a ≠ 0) — любое ненулевое число в нулевой степени равно единице.
- 0ⁿ = 0 для любого натурального n — ноль в любой натуральной степени равен нулю.
- 1ⁿ = 1 для любого натурального n — единица в любой степени равна единице.
- При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
- При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0, m > n).
- При возведении степени в степень показатели перемножаются: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ.
- Степень произведения равна произведению степеней: (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
- Степень частного равна частному степеней: (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ (b ≠ 0).
Теория
Вспомни, что такое степень: aⁿ — это умножение числа a само на себя n раз.
Изучи каждое свойство отдельно: умножение, деление, возведение в степень, степень произведения и частного.
Пойми, почему свойства работают: например, aᵐ · aⁿ = (a·a·...·a) m раз · (a·a·...·a) n раз = aᵐ⁺ⁿ.
Запомни условия: деление работает только при a ≠ 0, а в случае деления показатель делимого должен быть больше показателя делителя (для натуральных показателей).
Потренируйся применять свойства в разных комбинациях, например, упрощать выражения, где нужно сначала умножить степени, потом возвести в степень.
Всегда проверяй результат на простых числах, чтобы убедиться в правильности.
Примеры
- Пример 1расчёт
- Если у нас есть 2³ · 2⁴
- то по свойству умножения степеней получаем 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128. Можно проверить: 8 · 16 = 128
- Пример 2расчёт
При делении 5⁶
Решение
- 5² = 5⁶⁻² = 5⁴ = 625
- Проверка: 15625 : 25 = 625
- Пример 3расчёт
Возведение степени в степень
Решение
- (3²)³ = 3²·³ = 3⁶ = 729
- Проверка: 9³ = 729
- Пример 4расчёт
Степень произведения: (2·5)³ = 2³ · 5³ = 8 · 125 = 1000
Решение
- объясняет
- почему 10³ = 1000
- Пример 5случай
В геометрии
Пояснение
- площадь квадрата со стороной a равна a², а объём куба со стороной a равен a³
- Свойства степеней помогают вычислять площади и объёмы составных фигур
Интересно знать
- С помощью степеней можно записать количество атомов в наблюдаемой Вселенной — примерно 10⁸⁰. Это гораздо короче, чем выписывать все нули!
- Число 10¹⁰⁰ называется «гугол» (googol). Именно от него произошло название компании Google, только с ошибкой в написании.
- Степени двойки используются в компьютерах: 1 килобайт = 2¹⁰ байт = 1024 байта, а не 1000, как можно было бы подумать.
Связанные темы
- Умножение и деление рациональных чисел
- Одночлены и многочлены
- Формулы сокращённого умножения
- Степень с целым показателем