Многочлены

Научиться понимать, что такое многочлен, как его записывать, приводить к стандартному виду и выполнять с ним основные операции.

Многочлены используются в физике (например, для описания движения), в экономике (для расчёта прибыли), в инженерии (для проектирования конструкций) и даже в компьютерной графике. Умение работать с ними позволяет решать широкий класс задач, от простых уравнений до сложных моделей.

• Многочлен — это алгебраическое выражение, состоящее из суммы или разности одночленов.
• Каждый одночлен в составе многочлена называется членом многочлена.
• Многочлен, у которого все члены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных, называется многочленом стандартного вида.
• Степенью многочлена стандартного вида называется наибольшая из степеней его членов.
• Чтобы сложить или вычесть многочлены, нужно раскрыть скобки и привести подобные члены.
• Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить.
• Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.
• Разложение многочлена на множители — это представление его в виде произведения двух или нескольких многочленов.

Одночлен

Выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней. Например, 3x²y — одночлен.

Многочлен

Сумма или разность одночленов. Например, 2x³ + 5x - 7 — многочлен.

Стандартный вид многочлена

Запись многочлена, в которой каждый член — одночлен стандартного вида, и среди них нет подобных слагаемых.

Степень многочлена

Наибольшая из степеней всех членов многочлена (после приведения к стандартному виду). Например, для многочлена 4x² + x - 1 степень равна 2.

Подобные члены

Одночлены с одинаковой буквенной частью. Например, 3x² и -5x² — подобные.

Приведение подобных членов

Сложение или вычитание коэффициентов подобных одночленов с сохранением их буквенной части.

• Многочлен стандартного вида записывается в порядке убывания степеней переменной (например, 5x³ + 2x² - x + 7).
• Степень многочлена равна степени его старшего члена (члена с наибольшей степенью).
• При сложении многочленов их члены складываются, а при вычитании — вычитаются, при этом знаки всех членов вычитаемого многочлена меняются на противоположные.
• При умножении многочлена на одночлен используется распределительный закон: a(b + c) = ab + ac.
• При умножении многочлена на многочлен каждый член первого умножается на каждый член второго, а затем результаты складываются.
• Существуют формулы сокращённого умножения, которые упрощают умножение многочленов: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a - b)² = a² - 2ab + b², (a + b)(a - b) = a² - b².

1. Пример 1случай

   Пример многочлена в жизни

   Пояснение

   • расчёт площади фигуры, состоящей из прямоугольника и квадрата
   • Если стороны прямоугольника a и b, а сторона квадрата c, то общая площадь равна ab + c² — это многочлен
2. Пример 2расчёт

   Пример приведения подобных

   Решение

   • 3x + 5x = 8x, так как буквенная часть одинаковая, складываются только коэффициенты
3. Пример 3расчёт

   Пример умножения многочлена на одночлен

   Решение

   • 2x(3x² + 4) = 6x³ + 8x
4. Пример 4расчёт

   Пример умножения многочлена на многочлен

   Решение

   • (x + 2)(x - 3) = x² - 3x + 2x - 6 = x² - x - 6

• Многочлены известны с древних времён: ещё вавилоняне умели решать квадратные уравнения, которые являются частным случаем многочленов.
• Слово «многочлен» происходит от греческого «поли» (много) и латинского «номен» (имя), то есть «многоимённый».
• Многочлены используются в современных алгоритмах сжатия данных и в криптографии для защиты информации.

• Одночлены и действия с ними
• Уравнения с одной переменной
• Формулы сокращённого умножения
• Разложение многочленов на множители