Сложение, вычитание, умножение многочленов

Научиться выполнять сложение, вычитание и умножение многочленов, правильно приводя подобные слагаемые и применяя распределительный закон.

Умение работать с многочленами нужно для решения уравнений, упрощения формул, вычислений в физике и экономике. Например, расчёт площади сложной фигуры или стоимости товара с учётом скидок и налогов — это операции с многочленами.

• Многочлен — это сумма одночленов.
• Складывать и вычитать можно только подобные слагаемые (с одинаковой буквенной частью).
• При сложении многочленов их сумма — это многочлен, полученный объединением всех слагаемых с приведением подобных.
• При вычитании многочленов у каждого слагаемого вычитаемого меняется знак на противоположный.
• Умножение многочлена на одночлен выполняется по распределительному закону: каждый член многочлена умножается на этот одночлен.
• Умножение многочлена на многочлен — это умножение каждого члена первого многочлена на каждый член второго, затем приведение подобных.
• Результат сложения, вычитания и умножения многочленов всегда является многочленом.
• Степень многочлена — это наибольшая из степеней его одночленов (в стандартном виде).

Многочлен

Сумма одночленов. Например, 3x² + 2x − 5 — многочлен, состоящий из трёх одночленов.

Одночлен

Произведение числа, переменных и их степеней. Например, 5x³y — одночлен.

Подобные слагаемые

Одночлены с одинаковой буквенной частью. Например, 3x² и −7x² — подобные, а 3x² и 3x — нет.

Приведение подобных слагаемых

Сложение коэффициентов подобных слагаемых с сохранением буквенной части. Например, 3x² + 5x² = 8x².

Стандартный вид многочлена

Запись многочлена, в которой все члены записаны в стандартном виде и приведены подобные, обычно в порядке убывания степеней.

Степень многочлена

Наибольшая из степеней одночленов, входящих в многочлен (в стандартном виде). Например, степень многочлена 4x³ + x² − 1 равна 3.

• Правило сложения многочленов: чтобы сложить два многочлена, нужно записать все их члены подряд (с их знаками) и привести подобные слагаемые.
• Правило вычитания многочленов: чтобы вычесть из одного многочлена другой, нужно к первому прибавить многочлен, противоположный второму (у каждого члена вычитаемого меняется знак).
• Распределительный закон: a·(b + c) = a·b + a·c. Он используется при умножении многочлена на одночлен.
• Умножение многочлена на многочлен: (a + b)·(c + d) = a·c + a·d + b·c + b·d. Каждый член первого умножается на каждый член второго.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: x² · x³ = x⁵.
• Сложение и вычитание многочленов — это операции, обратные друг другу: (A + B) − B = A.

1. Пример 1расчёт

   Сложение

   Решение

   • (3x² + 2x − 1) + (x² − 4x + 5) = 4x² − 2x + 4
   • Здесь мы сложили подобные: 3x² и x², 2x и −4x, −1 и 5
2. Пример 2расчёт

   Вычитание

   Решение

   • (5x³ − 2x) − (3x³ + 4x) = 5x³ − 2x − 3x³ − 4x = 2x³ − 6x
   • Знаки второго многочлена поменялись
3. Пример 3расчёт

   Умножение на одночлен

   Решение

   • 2x·(3x² − 4x + 1) = 6x³ − 8x² + 2x
   • Каждый член умножили на 2x
4. Пример 4расчёт

   Умножение многочленов

   Решение

   • (x + 2)·(x − 3) = x·x + x·(−3) + 2·x + 2·(−3) = x² − 3x + 2x − 6 = x² − x − 6
5. Пример 5расчёт

   В жизни

   Решение

   • если длина прямоугольника равна (a + 3), а ширина (a − 2), то его площадь равна (a + 3)(a − 2) = a² + a − 6
   • Это умножение многочленов

• Многочлены используются в компьютерной графике для описания кривых линий, например, кривых Безье, которые применяются в шрифтах и анимации.
• Слово «многочлен» происходит от греческого «поли» (много) и латинского «номен» (имя). В математике его также называют полиномом.
• Умножение многочленов — основа для разложения на множители, которое позволяет решать квадратные уравнения, а они, в свою очередь, описывают движение тел, траектории и даже экономические модели.

• Одночлены и многочлены (урок 38)
• Разложение многочленов на множители (урок 40)
• Формулы сокращённого умножения (урок 41)