Формулы сокращённого умножения

Научиться узнавать формулы сокращённого умножения в выражениях и применять их для упрощения и преобразования алгебраических выражений.

Эти формулы — мощный инструмент для быстрых вычислений и упрощения выражений. Они используются в геометрии (площади), физике (формулы движения), экономике (проценты) и во многих других областях, где нужно быстро перемножать числа или преобразовывать выражения.

• Формулы сокращённого умножения позволяют быстро умножать многочлены, не выполняя промежуточные шаги.
• Квадрат суммы и квадрат разности — это не просто сумма или разность квадратов, а включают удвоенное произведение.
• Разность квадратов раскладывается на произведение суммы и разности, а сумма квадратов на множители не раскладывается.
• Формулы работают в обе стороны: и для умножения, и для разложения на множители.
• Куб суммы и куб разности содержат три слагаемых с коэффициентами 1, 3, 3, 1.
• Сумма кубов и разность кубов раскладываются на произведение двучлена и трёхчлена.
• Формулы сокращённого умножения — это частные случаи умножения многочленов, которые удобно запомнить.
• Применение формул требует внимательности: важно правильно определить, что является 'a' и 'b' в выражении.

Формулы сокращённого умножения

Это специальные правила, которые позволяют быстро перемножать или раскладывать на множители некоторые многочлены, не выполняя все промежуточные действия.

Квадрат суммы

Выражение (a + b)², которое равно a² + 2ab + b². Это квадрат двучлена, где первое и второе слагаемые возводятся в квадрат, а между ними стоит удвоенное произведение.

Квадрат разности

Выражение (a - b)², которое равно a² - 2ab + b². Аналогично квадрату суммы, но с минусом перед удвоенным произведением.

Разность квадратов

Выражение a² - b², которое равно (a - b)(a + b). Это разность квадратов двух чисел, которая раскладывается на произведение их разности и суммы.

Куб суммы

Выражение (a + b)³, которое равно a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Это куб двучлена, где коэффициенты при слагаемых равны 1, 3, 3, 1.

Куб разности

Выражение (a - b)³, которое равно a³ - 3a²b + 3ab² - b³. Аналогично кубу суммы, но знаки чередуются.

Сумма кубов

Выражение a³ + b³, которое равно (a + b)(a² - ab + b²). Это сумма кубов двух чисел, которая раскладывается на произведение суммы и неполного квадрата разности.

Разность кубов

Выражение a³ - b³, которое равно (a - b)(a² + ab + b²). Это разность кубов двух чисел, которая раскладывается на произведение разности и неполного квадрата суммы.

• Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b². Например, (x + 3)² = x² + 6x + 9.
• Квадрат разности: (a - b)² = a² - 2ab + b². Например, (y - 5)² = y² - 10y + 25.
• Разность квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b). Например, 49 - 4x² = (7 - 2x)(7 + 2x).
• Куб суммы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Например, (m + 2)³ = m³ + 6m² + 12m + 8.
• Куб разности: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³. Например, (n - 1)³ = n³ - 3n² + 3n - 1.
• Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²). Например, 8x³ + 27 = (2x + 3)(4x² - 6x + 9).
• Разность кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). Например, 64 - y³ = (4 - y)(16 + 4y + y²).
• Формулы работают в обе стороны: можно как упрощать произведение, так и раскладывать многочлен на множители.

1. Пример 1расчёт

   В геометрии

   Решение

   • площадь квадрата со стороной (x + 2) равна (x + 2)² = x² + 4x + 4
   • Это помогает быстро вычислять площадь, если известна сторона
2. Пример 2случай

   В физике

   Пояснение

   • формула для квадрата скорости при равноускоренном движении может быть преобразована с помощью формул сокращённого умножения для упрощения расчётов
3. Пример 3случай

   В повседневной жизни

   Пояснение

   • при расчёте площади участка, состоящего из квадрата и прямоугольника, можно использовать квадрат суммы, чтобы быстро найти общую площадь
4. Пример 4случай

   В алгебре

   Пояснение

   • разложение многочлена x² - 16 на множители (x - 4)(x + 4) помогает решать уравнения и сокращать дроби

• Формулы сокращённого умножения были известны ещё древнегреческим математикам, например, Евклиду, который использовал их для геометрических доказательств.
• Квадрат суммы можно увидеть в геометрии: если взять квадрат со стороной (a + b), его площадь равна a² + 2ab + b², что соответствует площади четырёх прямоугольников, на которые он разбивается.
• Формула разности квадратов используется для быстрого умножения чисел в уме: например, 99 × 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 100² - 1² = 10000 - 1 = 9999.

• Умножение многочленов
• Разложение многочленов на множители
• Квадратные уравнения
• Степень с натуральным показателем