Математика · 7 класс · Математика ФГОС · урок 48 · только теория
Разложение многочленов на множители
Разложение многочлена на множители — это превращение суммы в произведение, как перестановка деталей конструктора. Мы научимся видеть в выражениях общие части и выносить их за скобки, чтобы упрощать сложные формулы и решать уравнения.
Чему учимся понимать
Научиться представлять многочлен в виде произведения нескольких множителей разными способами.
Зачем это нужно
Это умение нужно для решения уравнений, сокращения дробей, упрощения выражений и понимания более сложных тем алгебры, таких как квадратные уравнения и функции.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Разложение на множители — это обратное действие к раскрытию скобок.
- Любой многочлен можно представить как произведение более простых выражений.
- Вынесение общего множителя — самый простой способ разложения.
- Группировка помогает, когда общего множителя нет у всех членов сразу.
- Формулы сокращённого умножения позволяют раскладывать на множители быстро и красиво.
- Разложение на множители упрощает вычисления и решение уравнений.
Определения
- Многочлен
- Сумма одночленов, например: 3x² + 5x – 2.
- Одночлен
- Произведение числа, переменных и их степеней, например: 7x²y.
- Множитель
- Число или выражение, на которое умножают другое число или выражение.
- Разложение на множители
- Представление многочлена в виде произведения двух или более множителей.
- Общий множитель
- Одночлен или выражение, которое есть в каждом члене многочлена.
- Вынесение за скобки
- Приём, при котором общий множитель записывают перед скобками, а в скобках остаётся результат деления каждого члена на этот множитель.
- Способ группировки
- Приём, при котором члены многочлена объединяют в группы так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель.
Ключевые факты и правила
- Вынесение общего множителя: ab + ac = a(b + c). Например, 6x² + 9x = 3x(2x + 3).
- Способ группировки: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b).
- Разность квадратов: a² – b² = (a – b)(a + b). Например, x² – 25 = (x – 5)(x + 5).
- Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b². Используется для разложения, если есть три члена.
- Квадрат разности: (a – b)² = a² – 2ab + b².
- Разложение на множители помогает решать уравнения: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.
Теория
Сначала ищем общий множитель у всех членов многочлена и выносим его за скобки.
Если общего множителя нет, пробуем сгруппировать члены так, чтобы в каждой группе появился общий множитель.
После группировки выносим общий множитель из каждой группы и затем выносим одинаковую скобку как общий множитель.
Если выражение похоже на формулу сокращённого умножения, применяем её для разложения.
Проверяем результат, раскрывая скобки: должно получиться исходное выражение.
Примеры
- Пример 1случай
- Чтобы упростить выражение 12x³ + 8x², выносим общий множитель 4x²: получаем 4x²(3x + 2)
- Пример 2расчёт
- При решении уравнения x² – 9 = 0 раскладываем на множители: (x – 3)(x + 3) = 0
- значит x = 3 или x = –3
- Пример 3случай
- В геометрии площадь прямоугольника со сторонами (a + b) и (a – b) равна a² – b², что видно из формулы разности квадратов
Интересно знать
- Разложение на множители — это как разбор числа на простые множители, только для выражений с буквами.
- Метод группировки часто используют в криптографии для упрощения больших чисел.
- Формулы сокращённого умножения были известны ещё древнегреческим математикам, например, Евклиду.
Связанные темы
- Умножение многочленов
- Формулы сокращённого умножения
- Решение уравнений
- Сокращение алгебраических дробей