Контрольная работа по теме "Алгебраические выражения"

Научиться понимать структуру алгебраического выражения, осознанно выполнять подстановки и преобразования, используя законы арифметики.

Алгебраические выражения — это язык, на котором математика описывает реальные зависимости: от расчёта стоимости покупок до физических формул. Умение с ними работать позволяет моделировать и решать практические задачи, а также закладывает основу для алгебры и математического анализа.

• Алгебраическое выражение состоит из чисел, переменных и знаков действий, например, 3x + 2y – 5.
• Значение выражения находится подстановкой конкретных чисел вместо переменных и выполнением действий по правилам порядка.
• Переменные могут принимать не все значения: нельзя делить на ноль и извлекать корень чётной степени из отрицательного числа (в рамках действительных чисел).
• Одночлен — это произведение числа, переменных и их степеней, например, 5a²b.
• Многочлен — это сумма одночленов; одночлены также считаются многочленами.
• Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть; их можно складывать и вычитать, складывая коэффициенты.
• Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях переменных, например, a + b = b + a.
• Формулы сокращённого умножения позволяют быстро преобразовывать выражения: (a+b)² = a² + 2ab + b², (a–b)(a+b) = a² – b².

Алгебраическое выражение

Запись, составленная из чисел, переменных и знаков действий (+, –, ×, ÷), а также скобок и степеней. Пример: 2x – 3y + 7.

Переменная

Буква, которая может принимать разные числовые значения. Обычно обозначается латинскими буквами (x, y, a, b).

Числовое значение выражения

Число, которое получается, если подставить вместо всех переменных конкретные числа и выполнить все действия.

Одночлен

Выражение, которое является произведением числа, переменных и их натуральных степеней. Например, 7x³y².

Многочлен

Сумма одночленов. Например, 3x² – 2x + 1. Одночлен тоже считается многочленом (из одного члена).

Подобные слагаемые

Одночлены с одинаковой буквенной частью. Например, 5x и –2x подобны, а 5x и 5y — нет.

Тождество

Равенство, которое выполняется при любых допустимых значениях переменных. Например, a – a = 0.

• Порядок действий в алгебраических выражениях такой же, как в арифметике: сначала скобки, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.
• При подстановке отрицательных чисел важно заключать их в скобки, чтобы не потерять знак: при x = –3 выражение 2x = 2·(–3) = –6.
• Сложение и вычитание подобных слагаемых выполняется по правилу: коэффициенты складываются, буквенная часть остаётся прежней. Например, 3a + 5a = 8a.
• Умножение одночленов: перемножаются коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями (показатели складываются). Например, 2x² · 3x³ = 6x⁵.
• Формулы сокращённого умножения: (a+b)² = a² + 2ab + b²; (a–b)² = a² – 2ab + b²; (a–b)(a+b) = a² – b².
• Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого умножить на каждый член второго и сложить результаты.
• Выражение не имеет смысла, если в знаменателе дроби получается ноль. Например, 5/(x–2) не определено при x = 2.

1. Пример 1расчёт
   • Если x = 3
   • то выражение 2x + 5 = 2·3 + 5 = 11
2. Пример 2расчёт
   • Выражение 1/(a–1) имеет смысл при всех a
   • кроме a = 1, так как на ноль делить нельзя
3. Пример 3случай

   В физике путь при равномерном движении вычисляется по формуле s = v·t

   Пояснение

   • это алгебраическое выражение с переменными v и t
4. Пример 4расчёт
   • При упрощении 3x + 2x – x получаем 4x
   • так как 3 + 2 – 1 = 4

• Буквы в алгебре начал использовать французский математик Франсуа Виет в XVI веке, до этого уравнения записывали словами.
• Термин «многочлен» происходит от греческих слов «поли» (много) и «номос» (часть, имя).
• Формулы сокращённого умножения были известны ещё древнегреческим математикам, например, Евклиду, который доказывал их геометрически.

• Уравнения с одной переменной
• Линейная функция
• Разложение многочленов на множители