Уравнение, правила преобразования уравнения, равносильность уравнений

Научиться понимать, что такое уравнение, его корень, и какие преобразования не меняют множество корней (равносильные преобразования).

Уравнения — это язык, на котором математика описывает реальные задачи: от расчёта стоимости покупок до вычисления скорости движения. Умение решать уравнения нужно не только на уроках, но и в жизни, например, чтобы спланировать бюджет или понять, сколько времени займёт поездка.

• Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой (обычно x).
• Корень уравнения — это число, при подстановке которого вместо неизвестного получается верное числовое равенство.
• Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.
• Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.
• Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число или выражение, получится уравнение, равносильное исходному.
• Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число, получится уравнение, равносильное исходному.
• Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с изменением знака — это следствие прибавления к обеим частям одного и того же выражения, поэтому он не меняет корни.

Уравнение

Равенство, в котором есть неизвестное число, обычно обозначенное буквой (например, x). Пример: 2x + 3 = 7.

Корень уравнения

Число, которое можно подставить вместо неизвестного, чтобы равенство стало верным. Например, для уравнения 2x + 3 = 7 корень — это 2, потому что 2·2 + 3 = 7.

Решить уравнение

Найти все числа, которые являются корнями, или убедиться, что таких чисел нет (тогда говорят, что корней нет).

Равносильные уравнения

Уравнения, у которых одинаковые корни. Например, 2x = 6 и x = 3 — равносильны, потому что у обоих корень 3.

Преобразование уравнения

Действие, которое меняет вид уравнения, но не меняет его корни (если это равносильное преобразование). Например, перенос слагаемого или умножение обеих частей на число.

• Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число (или выражение), получится уравнение, равносильное исходному. Например, x - 5 = 2 → x - 5 + 5 = 2 + 5 → x = 7.
• Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, получится уравнение, равносильное исходному. Например, 3x = 12 → (3x)/3 = 12/3 → x = 4.
• Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком — это равносильное преобразование. Например, 2x + 3 = 7 → 2x = 7 - 3 → 2x = 4.
• Нельзя умножать или делить обе части уравнения на ноль — это приводит к потере корней или появлению посторонних корней.
• При решении уравнения важно проверять найденные корни подстановкой в исходное уравнение, особенно если выполнялись преобразования, которые могут изменить ОДЗ (например, умножение на выражение с переменной).

1. Пример 1расчёт

   Пример из жизни

   Решение

   • если вы знаете, что 3 одинаковые булочки и ещё 2 рубля стоят 20 рублей, то уравнение 3x + 2 = 20 описывает эту ситуацию
   • Корень x = 6 — это цена одной булочки
2. Пример 2расчёт

   Пример из природы

   Решение

   • скорость течения реки можно найти, если известна скорость лодки по течению и против течения
   • Уравнение v_лодки + v_течения = 10 и v_лодки - v_течения = 6 — это система, но каждое из них — уравнение
3. Пример 3расчёт

   Пример из геометрии

   Решение

   • периметр прямоугольника равен 24 см, а одна сторона на 4 см больше другой
   • Уравнение 2(x + (x+4)) = 24 позволяет найти стороны

• Слово «уравнение» происходит от латинского aequatio, что означает «уравнивание» — мы уравниваем две части весов, чтобы найти неизвестное.
• Уравнения умели решать ещё в Древнем Египте и Вавилоне более 4000 лет назад, но тогда они записывались словами, а не символами.
• Знак равенства «=» ввёл английский математик Роберт Рекорд в 1557 году, объяснив, что нет ничего более равного, чем две параллельные линии.

• Линейные уравнения с одной переменной
• Решение задач с помощью уравнений
• Свойства равенств
• Числовые выражения и их значения