Линейное уравнение с одной переменной, решение линейных уравнений

Научиться понимать, что такое линейное уравнение, и уметь находить его корень (решение) с помощью простых преобразований.

Линейные уравнения — это «кирпичики» математики: они используются в физике (расчёт скорости, времени), экономике (подсчёт прибыли), технике и даже в повседневной жизни (например, чтобы рассчитать количество ингредиентов для рецепта или стоимость покупки). Умение решать их развивает логическое мышление и навыки работы с формулами.

• Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное число, которое нужно найти.
• Переменная (обычно x) — это буква, обозначающая неизвестное число.
• Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.
• Линейное уравнение с одной переменной имеет вид ax + b = 0, где a и b — известные числа, a ≠ 0.
• Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.
• Уравнения можно преобразовывать: переносить слагаемые из одной части в другую, менять знак, и умножать или делить обе части на одно и то же число (не равное нулю).
• Если a = 0, то уравнение 0·x + b = 0 либо не имеет корней (при b ≠ 0), либо имеет бесконечно много корней (при b = 0).

Уравнение

Равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное буквой, например, x + 3 = 7.

Переменная

Буква, которая обозначает неизвестное число в уравнении (обычно x, y, z).

Корень уравнения

Число, которое можно подставить вместо переменной, чтобы уравнение стало верным равенством. Например, для x + 3 = 7 корень — это 4, потому что 4 + 3 = 7.

Линейное уравнение

Уравнение вида ax + b = 0, где a и b — числа, a ≠ 0. Оно называется линейным, потому что переменная x входит только в первой степени (без квадратов и кубов).

Коэффициент

Число, которое умножается на переменную. В уравнении 2x + 5 = 0 коэффициент при x равен 2.

Свободный член

Число без переменной в уравнении. В уравнении 2x + 5 = 0 свободный член равен 5.

Решение уравнения

Процесс нахождения корня (или корней) уравнения, а также само найденное значение.

Равносильные уравнения

Уравнения, которые имеют одни и те же корни. Например, x + 2 = 5 и x = 3 — равносильны, потому что корень обоих — 3.

• Общий вид линейного уравнения: ax + b = 0, где a и b — числа, a ≠ 0.
• Корень линейного уравнения ax + b = 0 находится по формуле x = -b / a.
• При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую знак этого слагаемого меняется на противоположный (например, x + 3 = 7 → x = 7 - 3).
• Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю, при этом корни не изменяются.
• Если в уравнении a = 0 и b ≠ 0, то уравнение не имеет корней (например, 0·x + 5 = 0).
• Если a = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечно много корней (например, 0·x = 0 — верно при любом x).

1. Пример 1расчёт

   Пример из жизни

   Решение

   • если вы покупаете 3 одинаковые тетради и платите 60 рублей, то цена одной тетради находится из уравнения 3x = 60, где x — цена тетради
   • Решая, получаем x = 20
2. Пример 2расчёт

   Пример из физики

   Решение

   • скорость автомобиля можно найти из уравнения v = S / t, но если известны скорость и время, можно составить линейное уравнение для расстояния, например, 60·t = 180, откуда t = 3 часа
3. Пример 3расчёт

   Пример из кулинарии: если рецепт рассчитан на 4 порции, а нужно приготовить 6, то количество каждого ингредиента умножается на коэффициент 6/4 = 1,5

   Решение

   • можно записать как линейное уравнение: 4·x = 6, где x — коэффициент

• Слово «уравнение» происходит от латинского aequatio, что означает «равенство». Уравнения использовали ещё в Древнем Египте и Вавилоне более 4000 лет назад.
• Линейные уравнения — это частный случай более общих уравнений, и их решение лежит в основе компьютерных алгоритмов, которые используются в поисковых системах и финансовых расчётах.
• В математике есть понятие «линейный» не только для уравнений, но и для функций: график линейной функции — прямая линия, отсюда и название.

• Решение задач с помощью уравнений
• Линейная функция и её график
• Уравнения с модулем
• Системы линейных уравнений