Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Научиться понимать, что такое линейное уравнение с двумя переменными, и строить его график — прямую линию.

Линейные уравнения описывают множество реальных зависимостей: например, стоимость покупки (цена × количество), расстояние при равномерном движении (скорость × время), или соотношение ингредиентов в рецепте. Умение строить их графики помогает наглядно видеть, как одна величина зависит от другой, и предсказывать результаты.

• Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид ax + by = c, где a, b, c — числа, причём a и b не равны нулю одновременно.
• Решением уравнения с двумя переменными называется пара чисел (x; y), которая обращает уравнение в верное равенство.
• Уравнение с двумя переменными обычно имеет бесконечно много решений.
• Каждому решению (x; y) соответствует точка на координатной плоскости с координатами (x; y).
• Все точки, координаты которых являются решениями уравнения, лежат на одной прямой — это и есть график уравнения.
• Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая линия.
• Для построения графика достаточно найти две точки (два решения) и провести через них прямую.
• Если коэффициент b ≠ 0, то уравнение можно выразить в виде y = kx + m, где k и m — числа (это уравнение прямой с угловым коэффициентом).

Уравнение с двумя переменными

Равенство, содержащее две неизвестные величины, обычно обозначаемые x и y, например: 2x + 3y = 12.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by = c, где a, b, c — конкретные числа, а x и y — переменные. Название «линейное» потому, что его график — прямая линия.

Решение уравнения с двумя переменными

Пара чисел (x; y), при подстановке которых в уравнение получается верное числовое равенство. Например, для уравнения x + y = 5 пара (2; 3) — решение, так как 2 + 3 = 5.

График уравнения с двумя переменными

Множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Координатная плоскость

Плоскость, на которой заданы две перпендикулярные оси — горизонтальная (Ox) и вертикальная (Oy), с общим началом отсчёта. Положение точки задаётся парой чисел (x; y).

Коэффициенты a, b, c

Числа в уравнении ax + by = c. Коэффициенты a и b — это множители при переменных, c — свободный член. Например, в уравнении 2x - 5y = 10: a = 2, b = -5, c = 10.

• Графиком линейного уравнения ax + by = c всегда является прямая линия. Это главный факт, из-за которого уравнение называется линейным.
• Если a = 0 (уравнение вида by = c), то график — горизонтальная прямая (параллельна оси Ox). Например, y = 3 — прямая, проходящая через точку (0; 3) и параллельная оси x.
• Если b = 0 (уравнение вида ax = c), то график — вертикальная прямая (параллельна оси Oy). Например, x = -2 — прямая, проходящая через точку (-2; 0) и параллельная оси y.
• Для построения графика достаточно найти две точки-решения: например, подставить x = 0 и найти y, затем подставить y = 0 и найти x. Через эти две точки провести прямую.
• Если b ≠ 0, уравнение можно преобразовать к виду y = kx + m, где k = -a/b, m = c/b. Это уравнение прямой, где k — угловой коэффициент (наклон), m — точка пересечения с осью Oy.

1. Пример 1расчёт

   Пример из жизни

   Решение

   • стоимость билета в кино — 300 рублей
   • Тогда стоимость y за x билетов выражается уравнением y = 300x
   • Это линейное уравнение: график — прямая, проходящая через точки (0;0), (1;300), (2;600) и т.д
2. Пример 2расчёт

   Пример из кулинарии

   Решение

   • для приготовления теста нужно 2 части муки и 1 часть воды
   • Если x — количество муки, y — количество воды, то зависимость y = 0.5x
   • График — прямая, показывающая, как меняется количество воды при изменении муки
3. Пример 3расчёт

   Пример из географии

   Решение

   • зависимость температуры воздуха от высоты над уровнем моря приближённо линейна: при подъёме на 1 км температура падает примерно на 6°C
   • Уравнение: t = 20 - 6h (при начальной температуре 20°C)
   • График — прямая с отрицательным наклоном

• Слово «линейный» происходит от латинского «linea» — линия. В древности уравнения, графики которых — прямые, называли «прямолинейными».
• Графики линейных уравнений используются в экономике для моделирования спроса и предложения: например, зависимость цены от количества товара часто изображается прямой линией.
• В физике равномерное движение описывается линейным уравнением S = vt (путь = скорость × время). Если построить график зависимости пути от времени, получится прямая, проходящая через начало координат.

• Линейное уравнение с одной переменной (7 класс)
• Координатная плоскость и координаты точки (6 класс)
• Функция y = kx + b и её график (7 класс, далее)