Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Научиться понимать, что такое система двух линейных уравнений с двумя переменными, и как её решение связано с графиками прямых.

Системы уравнений — это язык, на котором математика описывает ситуации с двумя неизвестными: от расчёта стоимости товаров до определения точки встречи двух объектов. Умение решать системы пригодится в физике, экономике, инженерии и даже в повседневном планировании.

• Система двух линейных уравнений с двумя переменными — это два уравнения, которые должны выполняться одновременно.
• Решением системы является пара чисел (x; y), которая обращает оба уравнения в верные равенства.
• Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая линия.
• Геометрически решение системы — это точка пересечения двух прямых.
• Если прямые пересекаются, система имеет единственное решение.
• Если прямые параллельны, система не имеет решений.
• Если прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений.
• Существуют алгебраические методы решения систем: подстановка и сложение.

Система уравнений

Два или более уравнения, которые рассматриваются вместе, и нужно найти значения переменных, удовлетворяющие всем уравнениям одновременно.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by = c, где a, b, c — числа, а x и y — переменные. Его график — прямая линия.

Решение системы

Пара чисел (x; y), которая при подстановке в оба уравнения системы превращает каждое из них в верное числовое равенство.

График уравнения

Множество всех точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Точка пересечения

Точка, которая принадлежит одновременно двум прямым; её координаты удовлетворяют обоим уравнениям.

Совместная система

Система, которая имеет хотя бы одно решение.

Несовместная система

Система, которая не имеет ни одного решения.

• Графиком линейного уравнения ax + by = c является прямая. Если a и b не равны нулю одновременно, то это прямая; если a = 0 и b ≠ 0, то это горизонтальная прямая; если a ≠ 0 и b = 0, то вертикальная.
• Чтобы построить график линейного уравнения, достаточно найти две точки, удовлетворяющие уравнению, и провести через них прямую.
• Если две прямые пересекаются в одной точке, то система имеет ровно одно решение — координаты этой точки.
• Если две прямые параллельны, то система не имеет решений (несовместна).
• Если две прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений — любая точка прямой является решением.
• Метод подстановки: выражаем одну переменную из одного уравнения и подставляем в другое, получая уравнение с одной переменной.
• Метод сложения: складываем (или вычитаем) уравнения так, чтобы одна переменная исчезла, и решаем полученное уравнение.

1. Пример 1расчёт

   Пример 1

   Решение

   • Система { x + y = 5, x - y = 1 }. Решение: (3
   • 2), так как 3+2=5 и 3-2=1. Графически это точка пересечения прямых
2. Пример 2расчёт

   Пример 2

   Решение

   • Система { y = 2x + 1, y = 2x - 3 }
   • Прямые параллельны (коэффициенты при x одинаковы), решений нет
3. Пример 3расчёт

   Пример 3

   Решение

   • Система { 2x + 4y = 8, x + 2y = 4 }
   • Второе уравнение умножено на 2, поэтому прямые совпадают — бесконечно много решений
4. Пример 4случай

   Пример 4

   Пояснение

   • В жизни: если два друга вышли из разных точек навстречу друг другу, их пути можно описать уравнениями, и точка встречи — решение системы

• Системы уравнений использовались ещё в Древнем Вавилоне более 4000 лет назад для решения задач о распределении зерна и скота.
• Графический метод решения систем стал возможен после изобретения координатной плоскости Рене Декартом в XVII веке.
• Если в системе коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены — нет, то прямые параллельны, и система не имеет решений. Это часто встречается в задачах на движение, когда объекты движутся с одинаковой скоростью, но из разных точек.

• Линейное уравнение с двумя переменными и его график
• Координатная плоскость
• Решение линейных уравнений с одной переменной
• Функции и их графики (в 7 классе)