Решение систем уравнений

Научиться понимать, что такое система уравнений, и освоить основные способы её решения.

Системы уравнений помогают решать задачи, где есть две неизвестные величины и два условия. Например, в экономике (спрос и предложение), в физике (движение двух тел), в повседневной жизни (расчёт стоимости покупок).

• Система уравнений — это два или более уравнения, которые рассматриваются вместе, и решение должно удовлетворять всем уравнениям одновременно.
• Решить систему — значит найти все пары чисел (x; y), которые обращают каждое уравнение в верное равенство.
• Графический способ основан на том, что графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая, и точка пересечения графиков — это решение системы.
• Способ подстановки заключается в том, чтобы выразить одну переменную через другую из одного уравнения и подставить это выражение в другое уравнение.
• Способ сложения основан на том, что можно складывать или вычитать уравнения системы, чтобы исключить одну из переменных.
• Система может иметь одно решение, бесконечно много решений или не иметь решений.
• При решении систем важно проверять полученное решение, подставляя его в оба исходных уравнения.

Система уравнений

Два или несколько уравнений, для которых нужно найти общее решение, то есть такие значения переменных, которые превращают каждое уравнение в верное равенство.

Решение системы уравнений

Пара чисел (x; y), которая при подстановке в каждое уравнение системы даёт верное числовое равенство.

График уравнения с двумя переменными

Множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. Для линейного уравнения ax + by = c графиком является прямая.

Способ подстановки

Метод решения системы, при котором из одного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют полученное выражение в другое уравнение, получая уравнение с одной переменной.

Способ сложения

Метод решения системы, при котором уравнения складывают или вычитают почленно так, чтобы исключить одну из переменных.

Равносильные системы

Системы, которые имеют одни и те же решения. Преобразования, не меняющие решения, называются равносильными.

• Графиком линейного уравнения ax + by = c является прямая линия. Если a и b не равны нулю одновременно, то это прямая.
• Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются в одной точке, то система имеет единственное решение — координаты этой точки.
• Если прямые параллельны, то система не имеет решений (она несовместна).
• Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений (она неопределённа).
• При решении способом подстановки после подстановки получается линейное уравнение с одной переменной, которое решается стандартными методами.
• При решении способом сложения нужно иногда умножать одно или оба уравнения на число, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными или равными.

1. Пример 1случай

   Пример из жизни

   Пояснение

   • вы покупаете в магазине 3 яблока и 2 банана за 120 рублей, а ваш друг — 2 яблока и 3 банана за 110 рублей
   • Система уравнений поможет узнать цену яблока и банана
2. Пример 2расчёт

   Графический пример

   Решение

   • уравнения y = 2x + 1 и y = -x + 4. Их графики — прямые, которые пересекаются в точке (1
   • 3). Это и есть решение системы
3. Пример 3расчёт

   Пример способа подстановки

   Решение

   • в системе {x + y = 5, x - y = 1} из первого уравнения выражаем x = 5 - y, подставляем во второе: (5 - y) - y = 1, получаем y = 2, затем x = 3. Решение: (3
   • 2)
4. Пример 4расчёт

   Пример способа сложения

   Решение

   • в системе {2x + 3y = 7, 2x - y = 1} вычитаем уравнения: (2x + 3y) - (2x - y) = 7 - 1, получаем 4y = 6, y = 1.5, затем x = 1.25

• Системы уравнений использовались ещё в Древнем Вавилоне и Древнем Китае более 4000 лет назад для решения задач о земледелии и торговле.
• Графический метод решения систем уравнений стал возможен после изобретения координатной плоскости Рене Декартом в XVII веке.
• В реальной жизни системы уравнений применяются в компьютерной графике для расчёта пересечения линий и поверхностей.

• Линейные уравнения с двумя переменными и их графики
• Линейная функция и её график
• Решение задач с помощью систем уравнений