Контрольная работа по теме "Линейные уравнения"

Научиться понимать структуру линейного уравнения, уверенно применять алгоритмы его решения и осознавать связь между уравнением и его графиком.

Линейные уравнения — это «рабочая лошадка» математики. Они описывают огромное количество реальных процессов: от расчёта стоимости покупки до физических законов (например, скорость = расстояние / время). Умение решать их необходимо для сдачи экзаменов и для понимания более сложных тем, таких как системы уравнений и функции.

• Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида ax + b = 0, где a и b — числа, а x — переменная.
• Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.
• Уравнения называются равносильными, если они имеют одни и те же корни (или оба не имеют корней).
• Основные свойства, используемые при решении: перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака и умножение/деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число.
• Графиком линейного уравнения ax + by + c = 0 является прямая линия.
• Решение линейного уравнения сводится к нахождению значения x, которое обращает уравнение в верное равенство.

Уравнение

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой (например, x).

Корень уравнения

Число, которое можно подставить вместо переменной, чтобы получить верное равенство.

Линейное уравнение

Уравнение вида ax + b = 0, где a и b — известные числа, а x — неизвестное.

Коэффициент

Число, на которое умножается переменная в уравнении (в ax + b = 0 это число a).

Свободный член

Число без переменной в уравнении (в ax + b = 0 это число b).

Равносильные уравнения

Уравнения, которые имеют одинаковые корни (или оба не имеют корней).

• Линейное уравнение ax + b = 0 имеет единственный корень x = -b/a, если a ≠ 0.
• Если a = 0 и b ≠ 0, то уравнение 0·x + b = 0 не имеет корней (так как 0·x = 0, а 0 + b ≠ 0).
• Если a = 0 и b = 0, то уравнение 0·x + 0 = 0 имеет бесконечно много корней (любое число является корнем).
• При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую, его знак меняется на противоположный.
• Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю — корни при этом не изменятся.
• График линейного уравнения с двумя переменными ax + by = c — это прямая линия на координатной плоскости.

1. Пример 1расчёт

   Пример линейного уравнения

   Решение

   • 2x + 5 = 13. Корень: x = 4, так как 2·4 + 5 = 13
2. Пример 2расчёт
   • Уравнение 3x - 7 = 2x + 1 решается переносом: 3x - 2x = 1 + 7
   • получаем x = 8
3. Пример 3случай
   • Уравнение 0·x + 5 = 0 не имеет корней, потому что 5 ≠ 0
4. Пример 4случай
   • Уравнение 0·x + 0 = 0 имеет бесконечно много корней: любое число подходит
5. Пример 5случай

   График уравнения y = 2x + 1

   Пояснение

   • прямая, которая показывает, как y зависит от x

• Слово «алгебра» происходит от названия труда среднеазиатского математика аль-Хорезми «Аль-джебр», что означает «восстановление» — именно так называли перенос слагаемых из одной части уравнения в другую.
• Линейные уравнения используются в экономике для расчёта точки безубыточности, в физике — для описания равномерного движения, а в программировании — для решения задач оптимизации.

• Решение задач с помощью уравнений
• Линейная функция и её график
• Системы линейных уравнений