Числовые промежутки

Научиться понимать, записывать и изображать числовые промежутки на координатной прямой.

Числовые промежутки используются везде, где нужно описать диапазон значений: от температуры воздуха и скорости движения до границ допустимых нагрузок и финансовых лимитов. Это язык, на котором математика говорит с реальным миром.

• Числовой промежуток — это множество всех чисел, удовлетворяющих некоторому неравенству.
• Промежутки бывают открытые (строгие неравенства) и закрытые (нестрогие неравенства).
• На координатной прямой промежуток изображается штриховкой, а граничные точки — кружками: закрашенными (включены) или пустыми (не включены).
• Бесконечные промежутки описывают множества чисел, уходящие в бесконечность в одну или обе стороны.
• Объединение промежутков — это множество чисел, принадлежащих хотя бы одному из них.
• Пересечение промежутков — это множество чисел, принадлежащих обоим промежуткам одновременно.
• Запись промежутка всегда использует круглые или квадратные скобки: круглые — граница не включена, квадратные — включена.

Числовой промежуток

Множество всех чисел, которые удовлетворяют заданному неравенству. Например, все числа больше 2 и меньше 5 образуют промежуток (2; 5).

Открытый промежуток (интервал)

Множество чисел между двумя границами, не включая сами границы. Записывается с круглыми скобками: (a; b).

Закрытый промежуток (отрезок)

Множество чисел между двумя границами, включая сами границы. Записывается с квадратными скобками: [a; b].

Полуинтервал

Промежуток, в котором одна граница включена, а другая нет. Например, [a; b) или (a; b].

Бесконечный промежуток

Промежуток, который не имеет одной или обеих границ, например, все числа больше a: (a; +∞) или все числа меньше b: (-∞; b).

Координатная прямая

Прямая, на которой выбрано начало отсчета, единичный отрезок и направление. Каждой точке соответствует число, и наоборот.

• Строгое неравенство (x > a или x < b) дает открытый промежуток: граница не включается, скобка круглая.
• Нестрогое неравенство (x ≥ a или x ≤ b) дает закрытый промежуток: граница включается, скобка квадратная.
• Обозначение бесконечности: +∞ (плюс бесконечность) и -∞ (минус бесконечность). В записи промежутка бесконечность всегда обозначается круглой скобкой, так как бесконечность — не число.
• Промежуток (a; b) — все числа между a и b, не включая их. Промежуток [a; b] — все числа от a до b, включая a и b.
• Объединение промежутков обозначается знаком ∪ (например, (-∞; 2) ∪ (5; +∞) — все числа, кроме промежутка от 2 до 5).
• Пересечение промежутков обозначается знаком ∩ (например, [1; 7] ∩ [3; 10] = [3; 7]).

1. Пример 1случай

   Температура воздуха в холодильнике должна быть от +2°C до +6°C. Это промежуток [2; 6]

   Пояснение

   • оба конца включены, так как температура может быть ровно 2 или 6 градусов
2. Пример 2случай
   • Скорость автомобиля в городе по правилам не должна превышать 60 км/ч. Это промежуток (-∞
   • 60] — все скорости до 60 включительно
3. Пример 3случай
   • Рост человека для участия в конкурсе должен быть не ниже 150 см и не выше 190 см. Это промежуток [150
   • 190]

• Знак бесконечности ∞ придумал английский математик Джон Валлис в 1655 году. Он использовал его для обозначения бесконечно больших чисел.
• В программировании числовые промежутки используются для проверки, попадает ли число в допустимый диапазон, например, возраст пользователя от 18 до 60 лет.
• В медицине нормальные показатели давления или пульса — это тоже числовые промежутки, например, давление 120/80 — это конкретные числа, но нормальное систолическое давление — промежуток от 90 до 140.

• Линейные неравенства с одной переменной
• Системы линейных неравенств
• Координатная прямая и координаты точки
• Множества и операции над ними