Примеры графиков, заданных формулами

Научиться по формуле определять вид графика (прямая, парабола, гипербола) и строить его.

Умение строить и узнавать графики нужно не только на математике, но и в физике (зависимость пути от времени), в экономике (графики спроса и предложения), в программировании (визуализация данных). Это язык, на котором говорят числа.

• График — это множество всех точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют данной формуле.
• Чтобы построить график по формуле, нужно найти несколько точек (пар значений x и y), отметить их на плоскости и соединить плавной линией.
• Формула y = kx задаёт прямую, проходящую через начало координат.
• Формула y = kx + b задаёт прямую, которая пересекает ось y в точке (0; b).
• Формула y = x² задаёт параболу — симметричную кривую, ветви которой направлены вверх.
• Формула y = k/x (при k ≠ 0) задаёт гиперболу — кривую, состоящую из двух ветвей, которые стремятся к осям координат, но не пересекают их.
• Чем больше точек мы используем для построения, тем точнее будет график.

Формула

Математическая запись, показывающая, как вычислить значение одной величины (y) по значению другой (x).

График

Линия на координатной плоскости, которая показывает все пары чисел (x; y), удовлетворяющие формуле.

Аргумент

Независимая переменная (обычно x), значение которой мы подставляем в формулу.

Значение функции

Зависимая переменная (обычно y), которую мы вычисляем по формуле для выбранного аргумента.

Прямая пропорциональность

Зависимость вида y = kx, где k — постоянное число (коэффициент). График — прямая, проходящая через начало координат.

Линейная функция

Зависимость вида y = kx + b. График — прямая линия, которая пересекает ось y в точке (0; b).

Квадратичная функция

Зависимость вида y = ax² + bx + c (где a ≠ 0). График — парабола.

Обратная пропорциональность

Зависимость вида y = k/x (где k ≠ 0). График — гипербола.

• Для построения прямой достаточно двух точек, но для надёжности лучше взять три.
• Если в формуле y = kx + b коэффициент k > 0, прямая «поднимается» слева направо; если k < 0 — «опускается».
• Коэффициент b в формуле y = kx + b показывает, в какой точке прямая пересекает ось y.
• График функции y = x² — парабола с вершиной в точке (0;0), ветви направлены вверх.
• График функции y = -x² — парабола с вершиной в точке (0;0), ветви направлены вниз.
• Для гиперболы y = k/x оси координат являются асимптотами — график к ним приближается, но никогда не пересекает.
• Если в формуле y = k/x коэффициент k > 0, ветви гиперболы расположены в I и III четвертях; если k < 0 — во II и IV.

1. Пример 1расчёт
   • Формула y = 2x: если x = 1
   • то y = 2
   • если x = -1
   • то y = -2. Соединив точки (1;2) и (-1;-2), получим прямую, проходящую через начало координат
2. Пример 2расчёт
   • Формула y = x²: при x = 2
   • y = 4
   • при x = -2
   • y = 4. Точки (2;4) и (-2;4) симметричны относительно оси y, поэтому парабола симметрична
3. Пример 3расчёт
   • Формула y = 1/x: при x = 1
   • y = 1
   • при x = 2
   • y = 0.5
   • при x = 0.5
   • y = 2. Чем больше x, тем меньше y, но y никогда не равен нулю
4. Пример 4расчёт

   В жизни

   Решение

   • если вы идёте со скоростью 5 км/ч, то зависимость пройденного пути S от времени t выражается формулой S = 5t — это прямая пропорциональность, график — прямая

• Слово «парабола» придумал древнегреческий математик Аполлоний, оно означает «сравнение» или «прикладывание».
• Формула y = x² описывает форму, которую принимает цепь, подвешенная за два конца (например, мост), — это парабола.
• Гиперболу можно увидеть в природе: например, траектория движения кометы, пролетающей мимо Солнца, — это гипербола.

• Линейная функция и её график
• Функция y = x² и её график
• Функция y = k/x и её график
• Координатная плоскость
• Пропорциональные величины