Математика · 7 класс · Математика ФГОС · урок 87 · только теория
Свойства функций
Тема «Свойства функций» в 7 классе знакомит с основными характеристиками графиков: область определения, область значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, возрастание и убывание. Эти свойства помогают «читать» график как рассказ о поведении величины, не вычисляя каждую точку.
Чему учимся понимать
Научиться определять и описывать свойства функции по её графику и формуле.
Зачем это нужно
Свойства функций — это язык, на котором описываются реальные процессы: рост цен, изменение температуры, движение автомобиля. Понимание свойств позволяет прогнозировать поведение величин и принимать решения.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Функция — это правило, по которому каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции.
- Область определения — все значения аргумента, при которых функция имеет смысл.
- Область значений — все значения, которые функция может принимать.
- Нуль функции — точка, где график пересекает ось x, то есть значение функции равно нулю.
- Промежутки знакопостоянства — интервалы, где функция сохраняет знак (положительна или отрицательна).
- Возрастающая функция: большему аргументу соответствует большее значение функции.
- Убывающая функция: большему аргументу соответствует меньшее значение функции.
Определения
- Функция
- Правило, которое каждому числу из области определения ставит в соответствие единственное число (значение функции).
- Область определения
- Все значения x, которые можно подставить в формулу функции, чтобы получить ответ.
- Область значений
- Все числа, которые могут получиться в результате вычисления функции.
- Нуль функции
- Значение x, при котором y = 0. На графике это точка пересечения с осью x.
- Промежуток знакопостоянства
- Интервал на оси x, где все значения функции либо положительные, либо отрицательные.
- Возрастающая функция
- Функция, у которой при увеличении x значение y тоже увеличивается (график идёт вверх).
- Убывающая функция
- Функция, у которой при увеличении x значение y уменьшается (график идёт вниз).
Ключевые факты и правила
- Область определения линейной функции y = kx + b — все действительные числа.
- Область определения функции y = 1/x — все числа, кроме 0 (делить на ноль нельзя).
- Нули функции находятся решением уравнения f(x) = 0.
- Если на промежутке график выше оси x, функция положительна; ниже — отрицательна.
- Возрастание/убывание можно определить по графику: идём слева направо — если график поднимается, функция возрастает, если опускается — убывает.
- Для линейной функции y = kx + b: если k > 0, функция возрастает; если k < 0 — убывает.
Теория
Понять, что функция — это зависимость одной величины от другой.
Научиться находить область определения: подставить все возможные x, исключая запрещённые (деление на ноль, корень из отрицательного).
Научиться находить область значений: посмотреть, какие y получаются при всех допустимых x.
Научиться находить нули функции: решить уравнение f(x) = 0.
Научиться определять промежутки знакопостоянства по графику.
Научиться определять возрастание и убывание по графику или по коэффициенту k для линейной функции.
Примеры
- Пример 1случай
Температура воздуха в течение дня
Пояснение
- утром она растёт (функция возрастает), после полудня может начать падать (функция убывает)
- Пример 2случай
Высота мяча, брошенного вверх
Пояснение
- сначала растёт (возрастает), затем падает (убывает)
- Пример 3случай
Скорость автомобиля при торможении
Пояснение
- убывающая функция времени
- Пример 4случай
Количество воды в баке при наполнении
Пояснение
- возрастающая функция времени
Интересно знать
- График функции y = x² — парабола — имеет нуль только в одной точке (0;0), а область значений — только неотрицательные числа.
- Функция y = |x| (модуль) — пример функции, которая убывает на отрицательной полуоси и возрастает на положительной.
- В физике равномерное движение описывается линейной функцией, где возрастание/убывание соответствует направлению движения.
Связанные темы
- Линейная функция и её график
- Прямая пропорциональность
- Функция y = x²
- Системы координат