Линейная функция

Научиться понимать, что такое линейная функция, как она выглядит на графике, и как связаны её формула, график и свойства.

Линейная функция — это модель многих реальных процессов: равномерное движение, стоимость покупки, рост растения, изменение температуры. Умение строить и читать графики линейных функций помогает анализировать и прогнозировать эти процессы.

• Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где x — независимая переменная, y — зависимая переменная, k и b — некоторые числа.
• Графиком линейной функции является прямая линия.
• Коэффициент k называется угловым коэффициентом и определяет наклон прямой: если k > 0, прямая возрастает, если k < 0 — убывает.
• Коэффициент b показывает, в какой точке график пересекает ось OY (ординат).
• Если b = 0, то функция называется прямой пропорциональностью, и её график проходит через начало координат.
• Для построения графика линейной функции достаточно знать координаты двух точек, принадлежащих графику.
• Линейная функция является частным случаем более общего понятия — функции.

Функция

Правило, по которому каждому значению одной переменной (x) ставится в соответствие единственное значение другой переменной (y).

Аргумент

Независимая переменная (обычно x), значения которой мы выбираем.

Зависимая переменная

Переменная (обычно y), значение которой вычисляется по формуле в зависимости от выбранного аргумента.

График функции

Множество всех точек координатной плоскости, координаты которых (x; y) удовлетворяют формуле функции.

Угловой коэффициент

Число k в формуле y = kx + b, которое показывает, насколько быстро изменяется y при изменении x, и определяет наклон прямой.

Свободный член

Число b в формуле y = kx + b, которое равно значению y при x = 0, то есть координате точки пересечения графика с осью OY.

• Формула линейной функции: y = kx + b, где k и b — конкретные числа.
• График линейной функции — прямая линия. Для её построения достаточно двух точек.
• Если k > 0, прямая образует острый угол с положительным направлением оси OX (возрастает). Если k < 0 — тупой угол (убывает).
• Если k = 0, то функция имеет вид y = b, и её график — горизонтальная прямая, параллельная оси OX.
• Точка пересечения графика с осью OY имеет координаты (0; b).
• Точка пересечения графика с осью OX находится из уравнения kx + b = 0, откуда x = -b/k (при k ≠ 0).
• Если b = 0, то y = kx — прямая пропорциональность, график проходит через начало координат (0; 0).
• Угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси OX.

1. Пример 1расчёт

   Стоимость поездки на такси

   Решение

   • C = 100 + 20 * d, где d — расстояние в километрах, 100 — начальная цена (b), 20 — цена за километр (k). График — прямая, начинающаяся в точке (0
   • 100)
2. Пример 2случай
   • Зависимость температуры в градусах Цельсия от температуры в градусах Фаренгейта: C = (5/9) * (F - 32) — это линейная функция
3. Пример 3расчёт

   Рост растения

   Решение

   • если каждый день растение вырастает на 2 см, а изначально его высота была 5 см, то высота через x дней равна y = 2x + 5
4. Пример 4расчёт

   Скорость равномерного движения

   Решение

   • если автомобиль едет со скоростью 60 км/ч, то путь y, пройденный за x часов, равен y = 60x (прямая пропорциональность)

• График линейной функции — это идеализированная модель движения: если вы идёте с постоянной скоростью, то зависимость пройденного пути от времени — линейная функция.
• В физике закон Ома для участка цепи (U = IR) — это линейная функция, где I — аргумент, U — зависимая переменная, а R — угловой коэффициент.
• Линейная функция используется в экономике для моделирования спроса и предложения, а также для расчёта налогов и прибыли.

• Функция и её график
• Прямая пропорциональность
• Системы линейных уравнений
• Линейные неравенства
• Графический способ решения уравнений