Математика · 7 класс · Математика ФГОС · урок 93 · только теория
График функции y =|х|
Тема посвящена графику функции y = |x|, который имеет форму буквы «V» и является одним из самых узнаваемых графиков в математике. Мы разберём, как строится этот график, почему он так выглядит, и как его свойства связаны с реальными ситуациями.
Чему учимся понимать
Научиться понимать, как устроен график функции y = |x|, и уметь объяснять его форму и расположение на координатной плоскости.
Зачем это нужно
График модуля встречается в физике (например, при описании движения с отражением), в экономике (моделирование издержек), а также в программировании и обработке сигналов. Понимание его формы помогает анализировать процессы, где важна только величина, а не знак.
Опорные понятия
Главные тезисы
- График функции y = |x| состоит из двух лучей, выходящих из начала координат.
- Для x ≥ 0 график совпадает с прямой y = x.
- Для x < 0 график совпадает с прямой y = -x.
- График симметричен относительно оси ординат.
- Точка (0; 0) является вершиной графика и точкой излома.
- Область определения функции — все действительные числа.
- Область значений функции — все неотрицательные числа (y ≥ 0).
Определения
- Модуль числа
- Расстояние от числа до нуля на числовой прямой. Модуль всегда неотрицателен: |a| = a, если a ≥ 0, и |a| = -a, если a < 0.
- График функции
- Множество всех точек координатной плоскости, у которых абсцисса (x) — значение аргумента, а ордината (y) — соответствующее значение функции.
- Ветви графика
- Части графика, которые идут в разные стороны от вершины. У графика y = |x| две ветви: правая (вверх направо) и левая (вверх налево).
- Точка излома
- Точка, в которой график резко меняет направление. Для y = |x| это точка (0; 0).
- Ось абсцисс
- Горизонтальная ось координат (ось X).
- Ось ординат
- Вертикальная ось координат (ось Y).
Ключевые факты и правила
- График y = |x| — это объединение двух прямых: y = x (при x ≥ 0) и y = -x (при x < 0).
- Вершина графика находится в точке (0; 0).
- График симметричен относительно оси OY: если точка (x; y) принадлежит графику, то и точка (-x; y) тоже принадлежит.
- Область значений функции — [0; +∞), то есть y никогда не бывает отрицательным.
- Угол между каждой ветвью и осью OX равен 45° (так как угловые коэффициенты равны 1 и -1).
- График функции y = |x| можно получить из графика y = x, отразив часть, лежащую ниже оси OX, вверх.
Теория
Вспомним определение модуля: он превращает отрицательное число в положительное, а положительное оставляет без изменения.
Разобьём числовую ось на две части: x ≥ 0 и x < 0.
Для x ≥ 0 модуль равен самому числу, поэтому y = x — это прямая, проходящая через начало координат под углом 45°.
Для x < 0 модуль равен противоположному числу, поэтому y = -x — это прямая, проходящая через начало координат, но идущая влево вверх.
Объединяем обе части: получаем график в виде буквы V с вершиной в начале координат.
Проверяем симметрию: если взять точку на правой ветви, то такая же точка с противоположным x будет на левой ветви.
Примеры
- Пример 1расчёт
- Если x = 3
- то |3| = 3, и точка (3; 3) лежит на правой ветви графика
- Пример 2расчёт
- Если x = -2
- то |-2| = 2, и точка (-2; 2) лежит на левой ветви графика
- Пример 3случай
Если x = 0, то |0| = 0, и точка (0; 0)
Пояснение
- вершина графика
- Пример 4случай
В жизни
Пояснение
- если вы идёте 5 шагов вперёд, то расстояние от старта равно 5, а если 5 шагов назад — расстояние всё равно 5
- Это и есть модуль
Интересно знать
- График модуля напоминает латинскую букву V, поэтому его иногда называют «галочкой».
- В физике модуль используется для описания скорости, когда важно только её значение, а направление не учитывается.
- В древности математики не использовали модуль, а рассматривали только положительные числа, поэтому график y = |x| появился только после введения отрицательных чисел.
Связанные темы
- Линейная функция и её график
- Функция y = x² и её график
- Преобразование графиков функций