Математика · 8 класс · Математика ФГОС · урок 1 · только теория
Квадратный корень из числа
Квадратный корень из числа — это операция, обратная возведению в квадрат. Мы научимся находить корень из точных квадратов, понимать его свойства и применять в реальных ситуациях, например, при расчёте диагонали экрана или длины стороны квадрата по площади.
Чему учимся понимать
Научиться понимать, что такое квадратный корень, как его находить для точных квадратов и почему он не всегда извлекается нацело.
Зачем это нужно
Квадратные корни встречаются в геометрии (теорема Пифагора), физике (расчёт скоростей, ускорений), строительстве (расчёт диагоналей) и даже в музыке (частоты нот). Без них невозможно решать квадратные уравнения и понимать многие природные закономерности.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Квадратный корень из числа a — это число, квадрат которого равен a.
- Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.
- Корень из отрицательного числа не существует в действительных числах.
- Корень из нуля равен нулю.
- Если число не является точным квадратом, его корень — иррациональное число.
- Операция извлечения корня обратна операции возведения в квадрат.
Определения
- Квадратный корень из числа a
- Число x, такое что x² = a. Например, корень из 9 равен 3, потому что 3² = 9.
- Арифметический квадратный корень
- Неотрицательный квадратный корень из числа. Обозначается √a. Например, √16 = 4, а не −4.
- Подкоренное выражение
- Число или выражение, стоящее под знаком корня. В √25 подкоренное выражение — 25.
- Точный квадрат
- Число, которое является квадратом целого числа. Например, 36 — точный квадрат (6²), а 37 — нет.
- Иррациональное число
- Число, которое нельзя представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Например, √2 — иррациональное число.
Ключевые факты и правила
- √a имеет смысл только при a ≥ 0. Корень из отрицательного числа не существует в действительных числах.
- √0 = 0, √1 = 1.
- Для любого неотрицательного числа a: (√a)² = a.
- Если a — точный квадрат (например, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100), то √a — целое число.
- Если a не является точным квадратом, то √a — иррациональное число (например, √2 ≈ 1,414...).
- Знак корня (√) называется радикалом.
Теория
Понять, что квадратный корень — это операция, обратная возведению в квадрат: если x² = a, то x = √a.
Запомнить, что арифметический корень всегда неотрицателен, поэтому √9 = 3, а не −3.
Научиться определять, является ли число точным квадратом (например, 49 = 7², значит √49 = 7).
Осознать, что если число не точный квадрат, корень — иррациональное число, и его можно только приближённо вычислить.
Запомнить область определения: √a существует только для a ≥ 0.
Примеры
- Пример 1расчёт
- Если площадь квадратного участка равна 64 м²
- то длина его стороны равна √64 = 8 метров
- Пример 2случай
Диагональ квадрата со стороной 1 равна √2 ≈ 1,41
Пояснение
- это иррациональное число, которое нельзя точно записать десятичной дробью
- Пример 3расчёт
В физике скорость свободного падения с высоты h вычисляется по формуле v = √(2gh), где g
Решение
- ускорение свободного падения
- Например, для h = 5 м, v ≈ √(2·9,8·5) ≈ 9,9 м/с
Интересно знать
- Древние вавилоняне умели приближённо вычислять квадратные корни ещё 4000 лет назад, используя итерационный метод, похожий на современный метод Ньютона.
- Знак корня √ произошёл от латинской буквы r (radix — корень), которую писали с хвостиком.
- Число √2 — первое открытое иррациональное число. Его обнаружили пифагорейцы, и это открытие долго держали в тайне.
Связанные темы
- Свойства арифметического квадратного корня
- Квадратные уравнения
- Теорема Пифагора
- Степень с рациональным показателем