Понятие об иррациональном числе

Научиться понимать, какие числа называются иррациональными, и отличать их от рациональных.

Иррациональные числа встречаются в природе и технике: длина окружности, диагональ квадрата, рост процессов в биологии. Без них невозможно точно описать мир, где не всё сводится к простым дробям.

• Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде дроби m/n, где m — целое, n — натуральное.
• Десятичная запись иррационального числа бесконечна и не содержит повторяющейся группы цифр (периода).
• Квадратный корень из числа, не являющегося точным квадратом, — иррациональное число.
• Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел.
• Каждое иррациональное число можно изобразить точкой на числовой прямой, но его точное значение нельзя записать конечной или периодической дробью.
• Иррациональные числа возникают при решении уравнений, в геометрии (диагональ квадрата) и в формулах физики.
• Сумма, разность, произведение и частное рационального и иррационального числа (кроме деления на ноль) — иррациональное число.

Рациональное число

Число, которое можно записать в виде дроби m/n, где m — целое, n — натуральное. Например, 3, -1/2, 0, 7.5.

Иррациональное число

Число, которое нельзя представить в виде дроби m/n. Его десятичная запись бесконечна и непериодична, например √2 или π.

Бесконечная непериодическая десятичная дробь

Десятичная дробь, у которой после запятой идёт бесконечно много цифр, и никакая группа цифр не повторяется бесконечно. Пример: 0,101001000100001... (после каждой единицы всё больше нулей).

Квадратный корень

Число, которое при возведении в квадрат даёт исходное число. Например, √9 = 3, потому что 3² = 9.

Множество действительных чисел

Объединение всех рациональных и иррациональных чисел. Это все числа, которые можно изобразить на числовой прямой.

Период десятичной дроби

Повторяющаяся группа цифр в бесконечной периодической дроби. Например, в 0,333... период — цифра 3.

• Число √2 иррационально: его нельзя представить дробью m/n. Это доказано ещё в Древней Греции.
• Десятичная запись иррационального числа никогда не заканчивается и не входит в период. Например, √2 = 1,41421356... (цифры не повторяются).
• Число π (пи) — иррациональное, его десятичная запись бесконечна и непериодична: 3,14159265...
• Если под корнем стоит число, не являющееся точным квадратом (например, 2, 3, 5, 7), то корень из него — иррациональное число.
• Иррациональные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить, но результат не всегда иррационален: например, √2 · √2 = 2 — рациональное число.
• На числовой прямой иррациональные числа занимают все «промежутки» между рациональными, поэтому их «больше», чем рациональных (это факт из теории множеств).

1. Пример 1случай

   Диагональ квадрата со стороной 1 равна √2 ≈ 1,41421356...

   Пояснение

   • это иррациональное число, его нельзя точно записать дробью
2. Пример 2случай

   Длина окружности радиуса 1 равна 2π ≈ 6,283185...

   Пояснение

   • иррациональное число, поэтому в расчётах используют приближение 3,14
3. Пример 3случай

   Число 0,101001000100001...

   Пояснение

   • иррациональное, потому что после каждой единицы число нулей увеличивается, и группа цифр не повторяется
4. Пример 4случай

   Если разделить длину окружности на её диаметр, получится π

   Пояснение

   • иррациональное число, одинаковое для всех окружностей

• Древнегреческий математик Гиппас из Метапонта, по легенде, был наказан богами за то, что открыл иррациональность √2 — это противоречило учению пифагорейцев, считавших, что всё есть число (рациональное).
• Число π известно более 4000 лет, но только в XVIII веке доказали, что оно иррационально. Сейчас его вычислили до триллионов знаков после запятой, но периода так и не нашли.
• Иррациональные числа встречаются в природе: отношение длины окружности к диаметру (π), отношение диагонали квадрата к его стороне (√2), золотое сечение (φ ≈ 1,618...).

• Квадратные корни (алгебра 8 класс)
• Действительные числа (алгебра 8 класс)
• Теорема Пифагора (геометрия 8 класс)
• Степени с рациональным показателем (алгебра 9 класс)