Десятичные приближения иррациональных чисел

Научиться находить и записывать десятичные приближения иррациональных чисел с заданной точностью, понимая их смысл.

В жизни и технике мы не можем работать с бесконечными дробями: нужно знать длину окружности, площадь круга, диагональ экрана или расстояние до объекта. Десятичные приближения позволяют получать точные на практике значения, не углубляясь в бесконечность.

• Иррациональное число имеет бесконечную непериодическую десятичную запись.
• Десятичное приближение — это конечная десятичная дробь, близкая к иррациональному числу.
• Приближение может быть с недостатком или с избытком.
• Точность приближения определяется количеством знаков после запятой.
• Для нахождения приближений корней используют метод проб, деление отрезка пополам или калькулятор.
• Округление десятичных дробей — это способ получить приближение с нужной точностью.

Иррациональное число

Число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Его десятичная запись бесконечна и непериодична.

Десятичное приближение

Конечная десятичная дробь, которая отличается от данного числа меньше, чем на заданную точность (например, на 0,1 или 0,01).

Приближение с недостатком

Десятичная дробь, которая меньше иррационального числа, но отличается от него не более чем на заданную точность.

Приближение с избытком

Десятичная дробь, которая больше иррационального числа, но отличается от него не более чем на заданную точность.

Округление

Замена числа на более короткую десятичную дробь, близкую к нему, по правилам округления (если следующая цифра ≥5, то предыдущую увеличивают на 1).

• √2 ≈ 1,41421356... — бесконечная непериодическая дробь, поэтому её приближение до сотых: 1,41 (с недостатком) или 1,42 (с избытком).
• Чтобы найти приближение √a с точностью до 0,1, нужно подобрать такое число x, что x² ≤ a < (x+0,1)².
• Приближение с точностью до 0,01 означает, что разница между числом и его приближением меньше 0,01.
• На числовой прямой иррациональное число лежит между двумя соседними десятичными дробями с заданным числом знаков после запятой.
• Для вычисления приближений можно использовать метод половинного деления: последовательно сужать отрезок, на котором находится число.

1. Пример 1случай

   Диагональ квадрата со стороной 1 м равна √2 м ≈ 1,41 м

   Пояснение

   • это приближение с точностью до 0,01 м (до сантиметра)
2. Пример 2случай

   Число π ≈ 3,14159...

   Пояснение

   • его приближение до сотых равно 3,14, что используется для расчёта длины окружности
3. Пример 3расчёт
   • Если нужно оценить √5, то замечаем
   • что 2²=4
   • а 3²=9, значит √5 находится между 2 и 3. Далее уточняем: 2,2²=4,84, 2,3²=5,29, значит √5 ≈ 2,2 (с недостатком) или 2,3 (с избытком)

• Древнегреческий математик Пифагор и его ученики обнаружили, что √2 нельзя выразить дробью, и это открытие долго держали в тайне, так как оно противоречило их представлениям о гармонии чисел.
• В компьютерах и калькуляторах все иррациональные числа хранятся в виде десятичных приближений с ограниченной точностью, поэтому вычисления всегда приближённые, но этого достаточно для практики.

• Квадратные корни
• Действительные числа
• Округление десятичных дробей
• Сравнение иррациональных чисел