Действительные числа

Научиться понимать, что такое действительное число, как оно устроено и как соотносится с другими числовыми множествами.

Действительные числа — это основа всей математики и естественных наук. Они нужны для точных измерений (длина, масса, время), для вычислений в физике, химии, экономике и даже в повседневной жизни (например, при расчёте скидок или процентов). Без них невозможно представить современную науку и технику.

• Действительные числа — это объединение рациональных и иррациональных чисел.
• Любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.
• Рациональные числа — это числа, которые можно записать в виде дроби p/q, где p и q — целые, q ≠ 0.
• Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби p/q; их десятичная запись бесконечна и непериодична.
• Каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой, и наоборот.
• Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить (кроме деления на ноль), при этом результат всегда будет действительным числом.
• Модуль действительного числа — это расстояние от точки, изображающей это число, до начала отсчёта на числовой прямой.
• Сравнение действительных чисел основано на их расположении на числовой прямой: меньше то число, которое расположено левее.

Рациональное число

Число, которое можно записать в виде обыкновенной дроби a/b, где a — целое, b — натуральное (b ≠ 0). Примеры: 3, -1/2, 0.25, 5. (Все целые числа и конечные или периодические десятичные дроби — рациональные.)

Иррациональное число

Число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Его десятичная запись бесконечна и непериодична. Примеры: √2, π, e.

Действительное (вещественное) число

Любое число, которое можно изобразить точкой на числовой прямой. Это все рациональные и иррациональные числа вместе.

Числовая прямая

Прямая, на которой выбраны начало отсчёта (точка 0), единичный отрезок и положительное направление. Каждая точка на ней соответствует некоторому действительному числу.

Модуль числа

Расстояние от точки, изображающей число, до начала отсчёта на числовой прямой. Модуль всегда неотрицателен. Обозначается |a|. Например, |−5| = 5, |3| = 3.

Периодическая десятичная дробь

Десятичная дробь, в которой после некоторого знака начинается повторяющаяся группа цифр (период). Например, 0.333... = 0.(3), 1.272727... = 1.(27). Такие дроби всегда рациональны.

• Множество действительных чисел обозначается буквой R (от латинского realis — вещественный).
• Рациональные числа (Q) и иррациональные числа (I) не пересекаются, а их объединение даёт множество действительных чисел: R = Q ∪ I.
• Любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби: рациональное — как периодическую, иррациональное — как непериодическую.
• На числовой прямой нет «дырок»: между любыми двумя действительными числами находится бесконечно много других действительных чисел.
• Квадратный корень из положительного числа, не являющегося точным квадратом, — иррациональное число (например, √2, √3, √5).
• Число π (отношение длины окружности к диаметру) — иррациональное, его десятичная запись бесконечна и непериодична: 3.14159...
• Операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль) не выводят за пределы множества действительных чисел.
• Модуль числа обладает свойствами: |a| ≥ 0, |a| = a при a ≥ 0, |a| = −a при a < 0, |a·b| = |a|·|b|, |a/b| = |a|/|b| (при b ≠ 0).

1. Пример 1случай

   Длина диагонали квадрата со стороной 1 метр равна √2 метра

   Пояснение

   • это иррациональное число
   • Его десятичная запись 1.41421356... никогда не заканчивается и не повторяется
2. Пример 2случай

   Число π = 3.14159...

   Пояснение

   • иррациональное
   • Оно появляется везде, где есть окружности: в колесе, в орбитах планет, в волнах
3. Пример 3случай

   Если разделить 1 на 3, получится 0.333...

   Пояснение

   • это рациональное число, так как его можно записать как 1/3
   • Десятичная запись периодическая
4. Пример 4случай
   • Температура тела 36.6 °C — это рациональное число (можно записать как 366/10)
   • Но точное измерение длины, например, 2.71828... (число e) — иррациональное

• Множество действительных чисел бесконечно, но оно «более бесконечно», чем множество натуральных чисел. Это открыл Георг Кантор в XIX веке, и это одна из самых удивительных идей в математике.
• Число π известно с древности, но доказать, что оно иррационально, удалось только в XVIII веке. Его десятичная запись вычислена до триллионов знаков, но закономерности в ней не найдено.
• Существуют иррациональные числа, которые встречаются в природе: например, отношение длины диагонали квадрата к его стороне равно √2 — это иррациональное число.

• Квадратные корни (урок 6)
• Степень с целым показателем (урок 7)
• Формулы сокращённого умножения (урок 8)
• Квадратные уравнения (урок 15)