Сравнение действительных чисел

Научиться сравнивать любые действительные числа, используя их свойства и координатную прямую.

Сравнение чисел нужно в жизни постоянно: от выбора лучшей цены в магазине до оценки времени и расстояний. В науке и технике сравнение величин помогает принимать решения, например, при анализе данных или в инженерии.

• Действительные числа включают все рациональные и иррациональные числа, их можно представить точками на координатной прямой.
• Из двух чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее.
• Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное — меньше нуля.
• Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.
• Иррациональные числа сравнивают, используя их приближённые значения или возведение в квадрат (для положительных чисел).
• Для сравнения дробей с разными знаменателями их приводят к общему знаменателю.
• Сравнение чисел можно выполнять, используя разность: если a - b > 0, то a > b.

Действительное число

Любое число, которое можно изобразить точкой на координатной прямой. Это все рациональные и иррациональные числа.

Рациональное число

Число, которое можно записать в виде дроби m/n, где m — целое, n — натуральное. Например, 3, 0,5, -7/2.

Иррациональное число

Число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Оно записывается бесконечной непериодической десятичной дробью, например, √2, π.

Координатная прямая

Прямая, на которой выбрано начало отсчёта, единичный отрезок и направление. Каждой точке соответствует число.

Модуль числа

Расстояние от числа до нуля на координатной прямой. Модуль всегда неотрицателен, например, |−5| = 5.

• Все положительные числа больше нуля, все отрицательные — меньше нуля. Например, 0,001 > 0, а −100 < 0.
• Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше: −2 > −5, потому что |−2| = 2, |−5| = 5.
• Чтобы сравнить иррациональные числа, например √2 и 1,5, можно возвести оба в квадрат: (√2)² = 2, (1,5)² = 2,25, значит √2 < 1,5.
• Любое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби, а иррациональное — только бесконечной непериодической, поэтому сравнение идёт по разрядам.
• Если a и b — положительные числа и a² > b², то a > b. Это правило работает для сравнения корней.
• На координатной прямой число, расположенное правее, всегда больше. Например, −1 < 2, потому что −1 лежит левее.

1. Пример 1расчёт

   Сравним 3 и √10

   Решение

   • возводим в квадрат: 3² = 9, (√10)² = 10, значит 3 < √10
2. Пример 2расчёт

   Сравним −0,25 и −1/3

   Решение

   • −0,25 = −1/4
   • Приводим к общему знаменателю: −3/12 и −4/12
   • Так как −3/12 > −4/12, то −0,25 > −1/3
3. Пример 3случай
   • На координатной прямой число 0,5 расположено правее, чем −0,5, поэтому 0,5 > −0,5
4. Пример 4случай

   Сравним 1,41 и √2

   Пояснение

   • √2 ≈ 1,41421, значит 1,41 < √2, потому что 1,41 < 1,41421

• Число π (пи) — иррациональное, его десятичная запись бесконечна и не повторяется. Сравнивая π с дробью 22/7, можно заметить, что 22/7 ≈ 3,142857, а π ≈ 3,14159, поэтому π < 22/7.
• Древнегреческий математик Евдокс придумал способ сравнивать любые величины, который позже лёг в основу сравнения действительных чисел.
• Есть числа, которые невозможно точно записать десятичной дробью, но их можно сравнить, используя квадраты или приближения, например, √2 ≈ 1,41421.

• Рациональные числа и действия с ними
• Иррациональные числа и квадратные корни
• Координатная прямая и модуль числа
• Числовые неравенства