Арифметический квадратный корень

Научиться понимать, что такое арифметический квадратный корень, и правильно его вычислять для неотрицательных чисел.

Корень нужен в геометрии (нахождение сторон), физике (скорость, энергия), строительстве (расчёт диагоналей), а также в алгебре для решения уравнений и упрощения выражений.

• Арифметический квадратный корень из числа a — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.
• Корень существует только для неотрицательных чисел (a ≥ 0).
• Корень из нуля равен нулю: √0 = 0.
• Корень из положительного числа всегда положителен.
• Операция извлечения корня обратна возведению в квадрат.
• Если число является точным квадратом, корень извлекается нацело, иначе получается иррациональное число.
• Корень из произведения и частного можно вычислять по отдельности (свойства корней).

Арифметический квадратный корень

Число, которое при возведении в квадрат даёт исходное число. Например, √9 = 3, потому что 3² = 9.

Подкоренное выражение

Число или выражение, стоящее под знаком корня. В √16 подкоренное выражение — 16.

Знак корня (радикал)

Символ √, обозначающий операцию извлечения квадратного корня.

Неотрицательное число

Число, которое больше или равно нулю (0, 1, 2, 3, ...).

Квадрат числа

Результат умножения числа на само себя. Например, квадрат числа 5 равен 25.

Иррациональное число

Число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби, например √2 ≈ 1,4142...

• √a имеет смысл только при a ≥ 0. Корень из отрицательного числа не существует в действительных числах.
• √a = b, если b ≥ 0 и b² = a. Например, √25 = 5, так как 5² = 25.
• √0 = 0, √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7, √64 = 8, √81 = 9, √100 = 10.
• Свойство: √(a·b) = √a · √b, если a ≥ 0 и b ≥ 0. Например, √(4·9) = √4 · √9 = 2·3 = 6.
• Свойство: √(a/b) = √a / √b, если a ≥ 0 и b > 0. Например, √(16/4) = √16 / √4 = 4/2 = 2.
• Корень из числа, не являющегося точным квадратом, — иррациональное число. Например, √2 ≈ 1,4142...
• При возведении корня в квадрат получается подкоренное выражение: (√a)² = a.

1. Пример 1расчёт
   • Если площадь квадрата равна 49 м²
   • то длина его стороны равна √49 = 7 м
2. Пример 2случай
   • При падении предмета с высоты h (в метрах) время падения t (в секундах) примерно равно √(2h/g), где g ≈ 9,8 м/с²
   • Для h = 4,9 м получаем t ≈ √(2·4,9/9,8) = √1 = 1 с
3. Пример 3случай

   В музыке частота ноты на октаву выше в 2 раза, а на квинту

   Пояснение

   • в 3/2 раза. Квадратные корни используются при настройке равномерно темперированного строя: частоты соседних полутонов отличаются в 2^(1/12), что связано с корнями
4. Пример 4расчёт
   • При расчёте диагонали телевизора с экраном 16:9, если ширина 80 см, а высота 45 см
   • диагональ равна √(80² + 45²) = √(6400 + 2025) = √8425 ≈ 91,8 см

• Знак корня произошёл от латинской буквы r (radix — корень), которую в старинных рукописях писали с хвостиком.
• Вавилоняне умели приближённо вычислять квадратные корни ещё 4000 лет назад, используя итерационный метод.
• √2 — первое открытое иррациональное число. Древнегреческий математик Гиппас доказал, что его нельзя выразить дробью, за что, по легенде, был наказан богами.

• Квадратные уравнения
• Степень с целым показателем
• Иррациональные числа
• Теорема Пифагора
• Функция y = √x