Уравнение вида x² = a

Научиться определять количество корней уравнения x² = a и находить их, используя определение квадратного корня.

Это основа для решения квадратных уравнений в целом, а также для понимания геометрического смысла площади квадрата и для многих физических формул, где величина зависит от квадрата другой (например, площадь круга, закон свободного падения).

• Уравнение x² = a — это простейшее квадратное уравнение, где a — некоторое число.
• Количество корней уравнения зависит от знака числа a: если a > 0 — два корня, если a = 0 — один корень, если a < 0 — корней нет.
• Корни уравнения x² = a при a > 0: x = √a и x = -√a.
• Запись x = ±√a означает два числа: √a и -√a.
• Если a = 0, то x = 0 — единственный корень.
• Если a < 0, то уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого числа неотрицателен.
• Квадратный корень из числа a (при a ≥ 0) — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Квадратное уравнение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа, причём a ≠ 0. В нашем случае b = 0 и c = -a.

Корень уравнения

Значение переменной, при подстановке которого уравнение превращается в верное числовое равенство.

Квадратный корень из числа a

Число, квадрат которого равен a. Например, квадратный корень из 9 — это 3, потому что 3² = 9.

Арифметический квадратный корень

Неотрицательный квадратный корень из числа a (обозначается √a). Например, √9 = 3, а не -3.

Иррациональное число

Число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби, например √2. Его десятичная запись бесконечна и не периодична.

• Если a > 0, уравнение x² = a имеет ровно два корня: x₁ = √a и x₂ = -√a.
• Если a = 0, уравнение x² = 0 имеет единственный корень x = 0.
• Если a < 0, уравнение x² = a не имеет действительных корней, так как квадрат любого числа неотрицателен.
• Свойство: √(a²) = |a| — это помогает при решении уравнений с модулем.
• При a ≥ 0, (√a)² = a — это определение арифметического квадратного корня.
• Числа √a и -√a являются противоположными, их сумма равна нулю.

1. Пример 1расчёт
   • Если a = 4
   • то x² = 4 имеет корни x = 2 и x = -2
   • так как 2² = 4 и (-2)² = 4
2. Пример 2расчёт
   • Если a = 0
   • то x² = 0 имеет корень x = 0
   • так как 0² = 0
3. Пример 3расчёт
   • Если a = -9
   • то x² = -9 не имеет решений, потому что квадрат любого числа не может быть отрицательным
4. Пример 4расчёт

   В геометрии

   Решение

   • если площадь квадрата равна 25 см², то его сторона равна √25 = 5 см (берём только положительный корень, так как сторона не может быть отрицательной)
5. Пример 5расчёт

   В физике

   Решение

   • при свободном падении путь s = gt²/2
   • Если нужно найти время падения с высоты 20 м, приходится решать уравнение t² = 4, откуда t = 2 с (отрицательный корень отбрасываем)

• Древние вавилоняне умели решать уравнения вида x² = a ещё 4000 лет назад, используя таблицы квадратов и обратных чисел.
• График функции y = x² — это парабола, и уравнение x² = a означает поиск точек пересечения параболы с горизонтальной прямой y = a. Если прямая выше оси OX — две точки, касается — одна, ниже — ни одной.
• Иррациональные числа, такие как √2, были открыты пифагорейцами, что противоречило их учению о том, что всё можно выразить целыми числами или их отношениями.

• Квадратные корни (арифметический квадратный корень)
• Квадратные уравнения (полные и неполные)
• Свойства квадратных корней
• Функция y = x² и её график