Свойства арифметических квадратных корней

Научиться применять свойства арифметических квадратных корней для упрощения выражений и вычислений.

Свойства корней нужны в геометрии (теорема Пифагора), физике (расчеты скоростей, ускорений), а также в повседневной жизни, например, при расчете площади участка или длины диагонали экрана.

• Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a.
• Корень из произведения равен произведению корней из множителей (при неотрицательных множителях).
• Корень из частного равен частному корней из делимого и делителя (при неотрицательном делимом и положительном делителе).
• Квадрат корня из числа равен самому числу (при неотрицательном числе).
• Корень из квадрата числа равен модулю этого числа.
• Вынесение множителя из-под корня упрощает выражение, делая его более компактным.
• Внесение множителя под корень позволяет сравнивать выражения и упрощать вычисления.

Арифметический квадратный корень

Число, которое при возведении в квадрат дает данное число, и при этом само является неотрицательным. Например, корень из 9 равен 3, потому что 3² = 9 и 3 ≥ 0.

Подкоренное выражение

Число или выражение, стоящее под знаком корня. Например, в √(x+5) подкоренное выражение — это x+5.

Корень из произведения

Свойство: √(a·b) = √a · √b, если a ≥ 0 и b ≥ 0. Например, √(4·9) = √4 · √9 = 2·3 = 6.

Корень из частного

Свойство: √(a/b) = √a / √b, если a ≥ 0 и b > 0. Например, √(16/4) = √16 / √4 = 4/2 = 2.

Корень из степени

Свойство: √(a²) = |a|, где a — любое число. Например, √((-5)²) = √25 = 5 = |-5|.

Вынесение множителя из-под корня

Представление корня из произведения как произведения корня из полного квадрата и корня из оставшегося множителя. Например, √50 = √(25·2) = 5√2.

Внесение множителя под корень

Преобразование выражения вида a√b в √(a²·b), где a ≥ 0. Например, 3√2 = √(9·2) = √18.

• √(a·b) = √a · √b, при a ≥ 0, b ≥ 0.
• √(a/b) = √a / √b, при a ≥ 0, b > 0.
• (√a)² = a, при a ≥ 0.
• √(a²) = |a|, для любого a.
• √a · √a = a, при a ≥ 0.
• Вынесение множителя: √(a²·b) = a√b, при a ≥ 0, b ≥ 0.

1. Пример 1расчёт
   • Площадь прямоугольного участка 50 м², одна сторона 5 м. Чтобы найти другую сторону
   • нужно 50/5 = 10 м. Но если известна площадь квадрата 50 м²
   • сторона равна √50 = 5√2 ≈ 7,07 м
2. Пример 2случай
   • При расчете скорости по формуле v = √(2·E/m) (из физики) используются свойства корней: √(2·E/m) = √(2E) / √m
3. Пример 3расчёт
   • В строительстве для проверки прямого угла используют правило 3-4-5: если стороны треугольника 3 и 4
   • то гипотенуза равна √(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5

• Свойство √(a·b) = √a·√b работает только для неотрицательных чисел. Если попробовать применить его к отрицательным, получится ошибка: √(-4·-9) ≠ √(-4)·√(-9), так как корень из отрицательного числа не существует в действительных числах.
• В древности корни называли «радикалами» от латинского слова «radix» — корень. Отсюда пошло обозначение √.
• С помощью свойств корней можно быстро вычислять длины диагоналей прямоугольников: например, диагональ квадрата со стороной 1 равна √2, что примерно 1,414 — это иррациональное число, которое не может быть точно выражено десятичной дробью.

• Арифметический квадратный корень (урок 9)
• Преобразование выражений, содержащих корни (урок 11)
• Квадратные уравнения (урок 15)