Математика · 8 класс · Математика ФГОС · урок 12 · только теория
Преобразование числовых выражений, содержащих квадратные корни
Эта тема учит упрощать выражения с квадратными корнями, используя свойства корней и арифметики. Мы научимся аккуратно выносить множители из-под корня, приводить подобные слагаемые и избавляться от иррациональности в знаменателе. Это важный навык для решения уравнений и работы с формулами в старших классах.
Чему учимся понимать
Научиться упрощать числовые выражения, содержащие квадратные корни, до наиболее простого вида.
Зачем это нужно
Умение преобразовывать выражения с корнями необходимо для решения квадратных уравнений, работы с геометрическими формулами (теорема Пифагора, площади), а также в физике при вычислениях с иррациональными величинами. Без этого навыка сложно переходить к более сложным темам алгебры.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Квадратный корень из произведения равен произведению квадратных корней из множителей.
- Квадратный корень из дроби равен частному квадратных корней из числителя и знаменателя.
- Вынесение множителя из-под корня упрощает выражение и позволяет приводить подобные слагаемые.
- Внесение множителя под корень полезно для сравнения выражений и упрощения вычислений.
- Освобождение от иррациональности в знаменателе делает выражение более удобным для дальнейших действий.
- Преобразования корней основаны на свойствах арифметического квадратного корня и тождествах.
Определения
- Квадратный корень
- Число, квадрат которого равен данному числу. Например, корень из 9 равен 3, потому что 3² = 9.
- Подкоренное выражение
- Число или выражение, стоящее под знаком корня. Например, в √(25) подкоренное выражение равно 25.
- Вынесение множителя из-под корня
- Преобразование, при котором из-под знака корня выносится множитель, являющийся полным квадратом. Например, √(12) = √(4·3) = 2√3.
- Внесение множителя под корень
- Преобразование, обратное вынесению: множитель, стоящий перед корнем, возводится в квадрат и вносится под знак корня. Например, 3√2 = √(9·2) = √18.
- Подобные радикалы
- Выражения, содержащие одинаковые квадратные корни. Например, 2√3 и 5√3 — подобные, их можно складывать: 2√3 + 5√3 = 7√3.
- Освобождение от иррациональности в знаменателе
- Преобразование дроби, при котором знаменатель становится рациональным числом. Например, 1/√2 = √2/2.
Ключевые факты и правила
- √(a·b) = √a · √b, если a ≥ 0 и b ≥ 0.
- √(a/b) = √a / √b, если a ≥ 0 и b > 0.
- √(a²) = |a|, то есть корень из квадрата числа равен модулю этого числа.
- Вынесение множителя: √(a²·b) = a√b, если a ≥ 0, b ≥ 0.
- Внесение множителя: a√b = √(a²·b), если a ≥ 0, b ≥ 0.
- Для освобождения от иррациональности в знаменателе вида a/√b умножаем числитель и знаменатель на √b: a/√b = (a√b)/b.
Теория
Вспомни свойства квадратных корней: корень из произведения и частного.
Научись раскладывать подкоренное выражение на множители, выделяя полные квадраты.
Освой вынесение и внесение множителя под корень как взаимно обратные операции.
Пойми, как приводить подобные радикалы, складывая коэффициенты перед одинаковыми корнями.
Изучи приём освобождения от иррациональности в знаменателе, умножая на сопряжённое выражение.
Примеры
- Пример 1случай
√(50) = √(25·2) = 5√2
Пояснение
- вынесли полный квадрат 25
- Пример 2случай
3√7 = √(9·7) = √63
Пояснение
- внесли множитель под корень
- Пример 3случай
1/√3 = √3/3
Пояснение
- освободились от иррациональности в знаменателе
- Пример 4случай
√(18) + √(8) = 3√2 + 2√2 = 5√2
Пояснение
- привели подобные радикалы
Интересно знать
- Квадратные корни использовались ещё в Древнем Вавилоне для вычислений площадей и строительных задач.
- Знак корня √ произошёл от латинской буквы r (radix — корень), которую писали перед числом.
- Иррациональные числа, такие как √2, были открыты пифагорейцами, что противоречило их представлению о том, что всё можно выразить целыми числами.
Связанные темы
- Арифметический квадратный корень
- Свойства квадратных корней
- Преобразование рациональных выражений
- Квадратные уравнения