Степень с целым показателем

Научиться понимать и вычислять степени с любым целым показателем, включая отрицательные и нулевой.

Степени с целым показателем используются в науке для записи очень больших и очень малых величин (например, расстояние до звёзд или размер атома), в физике, химии, экономике и технике. Понимание этой темы помогает упрощать вычисления и решать уравнения.

• Степень с целым показателем — это обобщение понятия степени, когда показатель может быть любым целым числом: положительным, нулём или отрицательным.
• Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
• Отрицательный показатель означает, что основание берётся в обратную сторону: a^(-n) = 1 / a^n.
• Свойства степеней с целым показателем аналогичны свойствам степеней с натуральным показателем.
• Степень с отрицательным показателем позволяет записывать дроби в компактной форме.
• Стандартный вид числа использует степень с целым показателем для записи очень больших и очень малых чисел.

Степень с целым показателем

Выражение вида a^n, где a — основание (любое число, кроме нуля для отрицательных показателей), а n — целое число (положительное, отрицательное или ноль).

Степень с нулевым показателем

Для любого числа a ≠ 0, a^0 = 1. Например, 5^0 = 1, (-3)^0 = 1.

Степень с отрицательным показателем

Для любого числа a ≠ 0 и натурального n, a^(-n) = 1 / a^n. Например, 2^(-3) = 1/8.

Основание степени

Число, которое умножается само на себя. В выражении a^n, a — основание.

Показатель степени

Число, показывающее, сколько раз основание умножается само на себя (или как преобразуется в случае отрицательного показателя). В выражении a^n, n — показатель.

• a^0 = 1 для любого a ≠ 0. Ноль в нулевой степени не определён.
• a^(-n) = 1 / a^n, где a ≠ 0. Например, 10^(-2) = 1/100 = 0.01.
• Свойства: a^m * a^n = a^(m+n), a^m / a^n = a^(m-n), (a^m)^n = a^(m*n), (a*b)^n = a^n * b^n, (a/b)^n = a^n / b^n — все они верны для целых показателей.
• При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем результат положительный, с нечётным — отрицательный. Например, (-2)^2 = 4, (-2)^3 = -8.
• Стандартный вид числа: запись числа в виде a * 10^n, где 1 ≤ a < 10, n — целое число. Например, 0.0005 = 5 * 10^(-4).

1. Пример 1расчёт
   • Если бактерия делится каждые 20 минут
   • то через 2 часа количество бактерий можно выразить как 2^6 = 64, а если рассматривать обратный процесс — уменьшение в 64 раза, то это 2^(-6)
2. Пример 2случай

   Расстояние от Земли до Солнца примерно 150 000 000 км, что записывается как 1.5 * 10^8 км

   Пояснение

   • стандартный вид числа с положительным показателем
3. Пример 3случай

   Размер вируса около 0.0000001 м, что в стандартном виде записывается как 1 * 10^(-7) м

   Пояснение

   • отрицательный показатель

• Идея отрицательных степеней появилась ещё в древности: вавилоняне использовали обратные числа для деления, но систематически отрицательные показатели ввёл в XVII веке английский математик Джон Валлис.
• Степень с нулевым показателем долго вызывала споры: некоторые математики считали, что a^0 = 0, но окончательно утвердилось правило a^0 = 1, так как оно согласуется со свойствами степеней.
• В физике отрицательные степени используются для записи единиц измерения: например, скорость измеряется в м/с, что можно записать как м * с^(-1).

• Степень с натуральным показателем (7 класс)
• Свойства степени с натуральным показателем (7 класс)
• Рациональные числа (7 класс)
• Обыкновенные и десятичные дроби (5-6 класс)