Математика · 8 класс · Математика ФГОС · урок 17 · только теория
Стандартная запись числа. Размеры объектов окружающего мира (от элементарных частиц до космических объектов), длительность процессов в окружающем мире
Тема знакомит с компактной записью очень больших и очень малых чисел через степень десяти. Это позволяет удобно сравнивать размеры объектов от элементарных частиц до галактик и длительности процессов от долей секунды до миллиардов лет.
Чему учимся понимать
Научиться записывать числа в стандартном виде и использовать эту запись для сравнения величин в науке и повседневной жизни.
Зачем это нужно
В реальном мире мы сталкиваемся с числами от 10⁻¹⁵ (размер протона) до 10²⁶ (размер Вселенной). Обычная запись таких чисел громоздка и неудобна, а стандартная форма позволяет легко сравнивать их и выполнять вычисления.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Стандартный вид числа — это запись в виде a·10ⁿ, где 1 ≤ a < 10, а n — целое число.
- Порядок числа — это показатель степени n в стандартной записи; он показывает, на сколько разрядов отличается число от единиц.
- Для чисел больше 10 порядок положительный, для чисел меньше 1 — отрицательный.
- Стандартная запись упрощает сравнение: больше то число, у которого больше порядок; при равных порядках сравнивают мантиссы.
- Любое положительное число можно представить в стандартном виде единственным образом.
- При умножении чисел в стандартном виде мантиссы перемножаются, а показатели складываются.
- При делении мантиссы делятся, а показатели вычитаются.
Определения
- Стандартный вид числа
- Запись числа в виде a·10ⁿ, где a — число от 1 до 10 (включая 1, исключая 10), а n — целое число.
- Мантисса
- Число a в стандартной записи a·10ⁿ; оно показывает значащие цифры числа.
- Порядок числа
- Целое число n в стандартной записи; показывает, на сколько порядков (разрядов) число отличается от единицы.
- Степень с целым показателем
- Выражение 10ⁿ, где n — целое число; при n>0 это 10·10·...·10 (n раз), при n=0 это 1, при n<0 это 1/10⁻ⁿ.
Ключевые факты и правила
- Если число больше 10, то порядок положительный: 3000 = 3·10³, порядок 3.
- Если число меньше 1, то порядок отрицательный: 0,0004 = 4·10⁻⁴, порядок -4.
- Чтобы привести число к стандартному виду, нужно поставить запятую так, чтобы слева осталась одна цифра (от 1 до 9), и посчитать, на сколько разрядов сдвинулась запятая: вправо — показатель отрицательный, влево — положительный.
- При сравнении чисел в стандартном виде сначала сравнивают порядки: больше порядок — больше число. Если порядки равны, сравнивают мантиссы.
- Диаметр атома ≈ 10⁻¹⁰ м, диаметр Земли ≈ 1,3·10⁷ м, возраст Вселенной ≈ 1,4·10¹⁰ лет.
Теория
Вспомни, что такое степень с целым показателем: 10ⁿ — это 10, умноженное само на себя n раз, если n положительное, и 1/10⁻ⁿ, если n отрицательное.
Пойми, что стандартный вид — это способ записать любое число как произведение числа от 1 до 10 и степени десяти.
Научись определять порядок числа: посчитай, на сколько разрядов нужно сдвинуть запятую, чтобы получить мантиссу.
Освой сравнение чисел: сначала порядок, потом мантисса.
Примени стандартную запись к реальным величинам: размерам объектов и длительности процессов, чтобы увидеть её пользу.
Примеры
- Пример 1случай
- Расстояние от Земли до Солнца ≈ 150 000 000 км = 1,5·10⁸ км
- Пример 2случай
- Размер вируса ≈ 0,0000001 м = 1·10⁻⁷ м
- Пример 3случай
- Время одного оборота Земли вокруг Солнца ≈ 31 536 000 с ≈ 3,15·10⁷ с
- Пример 4случай
- Масса Солнца ≈ 2·10³⁰ кг
Интересно знать
- Масса электрона ≈ 9,1·10⁻³¹ кг — если бы мы записали это число полностью, оно заняло бы целую строку.
- Световой год ≈ 9,46·10¹⁵ м — именно в таких единицах астрономы измеряют расстояния между звёздами.
- Число атомов в наблюдаемой Вселенной оценивается примерно как 10⁸⁰ — это единица с восьмьюдесятью нулями.
Связанные темы
- Степень с целым показателем (алгебра 8 класс)
- Действия со степенями (алгебра 8 класс)
- Приближённые вычисления (алгебра 8 класс)
- Физика: механическое движение, единицы измерения