Свойства степени с целым показателем

Научиться понимать и применять свойства степени с целым показателем для преобразования алгебраических выражений.

Степени с целым показателем — это язык науки и техники: от записи огромных (расстояние до звёзд) и крошечных (размер бактерий) величин до формул в физике, химии и экономике. Понимание свойств позволяет быстро и без ошибок выполнять вычисления и упрощать сложные выражения.

• Степень с целым показателем — это обобщение понятия степени, где показатель может быть любым целым числом (положительным, отрицательным или нулём).
• Для отрицательного показателя: a⁻ⁿ = 1/aⁿ (при a ≠ 0), то есть степень с отрицательным показателем — это дробь, обратная степени с положительным показателем.
• Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: a⁰ = 1 (при a ≠ 0).
• При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
• При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0).
• При возведении степени в степень показатели перемножаются: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
• Степень произведения равна произведению степеней: (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• Степень частного равна частному степеней: (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ (b ≠ 0).

Степень с целым показателем

Выражение вида aⁿ, где n — целое число, а a — основание (a ≠ 0 для отрицательных и нулевого показателей).

Отрицательный показатель

Показатель, который меньше нуля. Например, 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.

Нулевой показатель

Показатель, равный нулю. По определению, a⁰ = 1 для любого a ≠ 0.

Основание степени

Число, которое умножается само на себя. В выражении 5³ основание — 5.

Показатель степени

Число, показывающее, сколько раз основание умножается само на себя. В выражении 5³ показатель — 3.

• Правило умножения: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Например, 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128.
• Правило деления: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Например, 5⁶ : 5² = 5⁴ = 625.
• Возведение степени в степень: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Например, (3²)³ = 3⁶ = 729.
• Степень произведения: (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ. Например, (2·3)² = 2² · 3² = 4·9 = 36.
• Степень частного: (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ. Например, (4/2)³ = 4³ / 2³ = 64/8 = 8.
• Определение отрицательной степени: a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0). Например, 10⁻² = 1/100 = 0.01.
• Определение нулевой степени: a⁰ = 1 (a ≠ 0). Например, 7⁰ = 1.
• Все свойства справедливы для любых целых показателей, включая отрицательные и нулевой.

1. Пример 1случай

   В биологии

   Пояснение

   • размер вируса примерно 10⁻⁷ метра, а размер клетки — 10⁻⁵ метра
   • Используя отрицательные степени, удобно сравнивать эти величины
2. Пример 2случай

   В физике

   Пояснение

   • масса электрона ≈ 9.11 · 10⁻³¹ кг, а масса протона ≈ 1.67 · 10⁻²⁷ кг
   • Свойства степеней помогают быстро оценить, во сколько раз протон тяжелее электрона
3. Пример 3случай

   В экономике

   Пояснение

   • инфляция в 2% в год означает, что через 10 лет цены вырастут в (1.02)¹⁰ ≈ 1.22 раза — это применение степени с положительным показателем
4. Пример 4расчёт

   В информатике

   Решение

   • объём памяти измеряется в байтах, где 1 килобайт = 2¹⁰ байт = 1024 байта, а 1 мегабайт = 2²⁰ байт — степени двойки

• Число 10⁻⁹ (одна миллиардная) используется для измерения размеров нанометров — это толщина человеческого волоса, разделённая на 100 000.
• В астрономии расстояния до звёзд записывают в световых годах, где 1 световой год ≈ 9.46 · 10¹² км — это степень с положительным показателем.
• Правило a⁰ = 1 кажется странным, но оно необходимо для согласованности всех остальных свойств. Например, a² : a² = a⁰, но любое число, делённое само на себя, равно 1.

• Степень с натуральным показателем
• Одночлены и многочлены
• Преобразование рациональных выражений
• Стандартный вид числа