Математика · 8 класс · Математика ФГОС · урок 23 · только теория
Квадратный трёхчлен
Квадратный трёхчлен — это выражение вида ax²+bx+c, которое встречается в уравнениях, графиках и задачах на движение. Мы научимся раскладывать его на множители и находить корни, чтобы решать уравнения и понимать, как устроены параболы.
Чему учимся понимать
Научиться понимать структуру квадратного трёхчлена, находить его корни и раскладывать на множители.
Зачем это нужно
Квадратные трёхчлены описывают множество реальных процессов: траекторию мяча, форму моста, расчёт площади, экономические модели. Умение работать с ними — ключ к решению квадратных уравнений и анализу графиков.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Квадратный трёхчлен имеет вид ax²+bx+c, где a≠0.
- Корни трёхчлена — это значения x, при которых он равен нулю.
- Дискриминант D=b²−4ac определяет число корней: два, один или ни одного.
- Если корни x₁ и x₂ известны, трёхчлен можно разложить: a(x−x₁)(x−x₂).
- Теорема Виета связывает корни с коэффициентами: сумма корней равна −b/a, произведение — c/a.
- Приведённый трёхчлен (a=1) удобно раскладывать подбором по теореме Виета.
- Выделение полного квадрата помогает понять, как выглядит график параболы.
Определения
- Квадратный трёхчлен
- Многочлен второй степени вида ax²+bx+c, где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.
- Старший коэффициент
- Число a перед x² в квадратном трёхчлене; он определяет направление ветвей параболы.
- Дискриминант
- Число D=b²−4ac, которое показывает, сколько корней имеет квадратный трёхчлен.
- Корень квадратного трёхчлена
- Значение переменной x, при котором трёхчлен обращается в ноль.
- Разложение на множители
- Представление трёхчлена в виде произведения a(x−x₁)(x−x₂), где x₁ и x₂ — его корни.
- Теорема Виета
- Правило, по которому для приведённого трёхчлена x²+px+q сумма корней равна −p, а произведение равно q.
Ключевые факты и правила
- Формула дискриминанта: D = b² − 4ac. Если D > 0 — два корня, D = 0 — один корень, D < 0 — корней нет.
- Формула корней: x = (−b ± √D) / (2a).
- Разложение на множители: ax²+bx+c = a(x−x₁)(x−x₂), где x₁ и x₂ — корни.
- Теорема Виета для приведённого трёхчлена x²+px+q: x₁+x₂ = −p, x₁·x₂ = q.
- Если дискриминант равен нулю, то x₁ = x₂ = −b/(2a), и разложение имеет вид a(x−x₁)².
- Квадратный трёхчлен можно представить в виде a(x−h)²+k, где (h,k) — вершина параболы.
Теория
Понять, что квадратный трёхчлен — это многочлен второй степени, и научиться выделять коэффициенты a, b, c.
Освоить дискриминант: вычислить D и определить, сколько корней у трёхчлена.
Найти корни по формуле, если D ≥ 0.
Записать разложение на множители, используя найденные корни.
Для приведённого трёхчлена применять теорему Виета для быстрого подбора корней.
Связать разложение с графиком: корни — это точки пересечения параболы с осью x.
Примеры
- Пример 1расчёт
- Трёхчлен x²−5x+6 раскладывается как (x−2)(x−3)
- потому что 2+3=5 и 2·3=6
- Пример 2случай
Если бросить мяч, его высота меняется по закону h(t) = −5t²+20t+1
Пояснение
- это квадратный трёхчлен, корни показывают моменты, когда мяч на земле
- Пример 3расчёт
Площадь прямоугольного участка со сторонами x и (10−x) равна S = −x²+10x
Решение
- квадратный трёхчлен, максимум которого достигается при x=5
Интересно знать
- Слово «дискриминант» происходит от латинского discriminare — «различать», потому что он различает, сколько корней у уравнения.
- Теорема Виета была открыта французским математиком Франсуа Виетом в XVI веке, но в то время она применялась только к положительным корням.
- График квадратного трёхчлена — парабола, которую можно увидеть в форме фонтанов, антенн и мостов.
Связанные темы
- Квадратные уравнения
- Функция y = ax²+bx+c и её график
- Разложение многочленов на множители
- Теорема Виета