Разложение квадратного трёхчлена на множители

Научиться представлять любой квадратный трёхчлен в виде произведения двух линейных множителей, используя его корни.

Разложение на множители упрощает решение квадратных уравнений, позволяет сокращать алгебраические дроби, а также лежит в основе построения графиков и решения неравенств методом интервалов. В жизни это помогает в финансах (расчёт процентов), физике (движение тел) и инженерии.

• Квадратный трёхчлен ax² + bx + c можно разложить на множители, если он имеет хотя бы один корень.
• Если дискриминант положителен, трёхчлен имеет два различных корня и разлагается на два различных линейных множителя.
• Если дискриминант равен нулю, трёхчлен имеет один корень (два совпадающих) и разлагается на два одинаковых множителя.
• Если дискриминант отрицателен, трёхчлен не имеет действительных корней и не разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами.
• Формула разложения: ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂), где x₁ и x₂ — корни трёхчлена.
• Для приведённого трёхчлена (a = 1) можно использовать теорему Виета для нахождения корней и разложения.
• Разложение на множители — операция, обратная умножению скобок: (x - p)(x - q) = x² - (p+q)x + pq.

Квадратный трёхчлен

Многочлен вида ax² + bx + c, где a, b, c — числа, причём a ≠ 0, а x — переменная.

Корень квадратного трёхчлена

Значение переменной x, при котором трёхчлен обращается в ноль: ax² + bx + c = 0.

Дискриминант

Число D = b² - 4ac, которое показывает, сколько корней имеет квадратный трёхчлен.

Разложение на множители

Представление выражения в виде произведения более простых выражений, например, (x - 2)(x + 3) вместо x² + x - 6.

Приведённое квадратное уравнение

Уравнение вида x² + px + q = 0, где старший коэффициент равен 1.

Теорема Виета

Для приведённого трёхчлена x² + px + q сумма корней равна -p, а произведение равно q.

• Формула разложения: ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂), где x₁ и x₂ — корни уравнения ax² + bx + c = 0.
• Если D > 0, то x₁ ≠ x₂, и разложение имеет вид a(x - x₁)(x - x₂).
• Если D = 0, то x₁ = x₂ = x₀, и разложение имеет вид a(x - x₀)².
• Если D < 0, то трёхчлен не разлагается на линейные множители с действительными числами.
• Для приведённого трёхчлена x² + px + q разложение: (x - x₁)(x - x₂), где x₁ + x₂ = -p, x₁·x₂ = q.
• Разложение помогает сокращать дроби: например, (x² - 5x + 6)/(x - 2) = (x - 2)(x - 3)/(x - 2) = x - 3 (при x ≠ 2).

1. Пример 1расчёт

   Пример

   Решение

   • x² - 5x + 6. Корни: x₁ = 2, x₂ = 3 (по теореме Виета: сумма 5, произведение 6). Разложение: (x - 2)(x - 3)
2. Пример 2расчёт

   Пример

   Решение

   • 2x² - 8x + 6
   • Сначала выносим 2: 2(x² - 4x + 3)
   • Корни x² - 4x + 3: x₁ = 1, x₂ = 3
   • Разложение: 2(x - 1)(x - 3)
3. Пример 3расчёт

   Пример

   Решение

   • x² + 2x + 1. Дискриминант D = 0, корень x₀ = -1. Разложение: (x + 1)²
4. Пример 4расчёт

   Пример

   Решение

   • x² + 1. Дискриминант D = -4 < 0, поэтому на действительные множители не разлагается

• Теорема Виета была открыта французским математиком Франсуа Виетом в XVI веке и первоначально использовалась для решения уравнений с неизвестными коэффициентами.
• Разложение квадратного трёхчлена на множители тесно связано с графиком параболы: точки пересечения с осью x — это корни, а множители показывают, где график обращается в ноль.
• Если дискриминант отрицателен, трёхчлен всё равно можно разложить, но с использованием комплексных чисел — это изучается в старших классах.

• Квадратные уравнения (урок 23-24)
• Теорема Виета (урок 26)
• Сокращение алгебраических дробей (урок 27)
• Квадратичная функция и её график (урок 30)