Контрольная работа по темам "Квадратные корни. Степени. Квадратный трехчлен"

Научиться понимать взаимосвязь между корнями, степенями и квадратным трехчленом, а также уверенно выполнять преобразования выражений с ними.

Эти темы лежат в основе решения квадратных уравнений, упрощения выражений, вычислений в физике (например, законы движения), а также в финансовых расчетах (проценты, сложные проценты). Без них невозможно дальнейшее изучение алгебры и геометрии.

• Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a.
• Корень из произведения равен произведению корней, а корень из дроби — частному корней (при допустимых значениях).
• Степень с отрицательным показателем заменяет дробь: a^(-n) = 1/a^n.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются.
• Квадратный трехчлен ax^2 + bx + c можно разложить на множители, если найти его корни через дискриминант.
• Если дискриминант положителен, у квадратного трехчлена два различных корня; если равен нулю — один корень; если отрицателен — корней нет.
• Разложение квадратного трехчлена: ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2), где x1 и x2 — корни.

Арифметический квадратный корень

Число, которое при возведении в квадрат дает подкоренное выражение. Например, √9 = 3, потому что 3^2 = 9.

Подкоренное выражение

Число или выражение, стоящее под знаком корня. Для √a это a.

Степень с целым показателем

Выражение вида a^n, где n — целое число. Если n положительное, это произведение n множителей, равных a; если n отрицательное, это 1/a^n.

Квадратный трехчлен

Многочлен вида ax^2 + bx + c, где a, b, c — числа, причем a ≠ 0.

Дискриминант

Число, вычисляемое по формуле D = b^2 - 4ac, которое показывает, сколько корней имеет квадратный трехчлен.

Корень квадратного трехчлена

Значение переменной x, при котором трехчлен обращается в ноль.

• √(a·b) = √a · √b, если a ≥ 0 и b ≥ 0.
• √(a/b) = √a / √b, если a ≥ 0 и b > 0.
• √(a^2) = |a| — корень из квадрата равен модулю числа.
• Свойства степеней: a^m · a^n = a^(m+n); a^m / a^n = a^(m-n); (a^m)^n = a^(m·n).
• Любое число в нулевой степени равно 1: a^0 = 1 (при a ≠ 0).
• Формула корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / (2a), где D = b^2 - 4ac.
• Если D > 0, то трехчлен имеет два различных корня; если D = 0 — один корень; если D < 0 — корней нет.

1. Пример 1случай
   • √(16·25) = √16 · √25 = 4 · 5 = 20
2. Пример 2случай
   • √(36/49) = √36 / √49 = 6/7
3. Пример 3расчёт
   • Выражение 2^(-3) равно 1/8
   • потому что 2^(-3) = 1/2^3 = 1/8
4. Пример 4случай
   • Квадратный трехчлен x^2 - 5x + 6 имеет корни 2 и 3, поэтому его можно разложить: (x - 2)(x - 3)
5. Пример 5случай
   • Если дискриминант отрицателен, например, для x^2 + x + 1, то график параболы не пересекает ось x, и корней нет

• Знак корня (√) произошел от латинской буквы r (radix — корень), которую писали с длинным хвостом.
• Квадратные уравнения умели решать еще в Древнем Вавилоне более 4000 лет назад, но тогда не знали отрицательных чисел.
• Степень с отрицательным показателем ввел английский математик Джон Валлис в XVII веке, чтобы упростить записи дробей.

• Квадратные уравнения
• Функция y = √x
• Квадратичная функция и ее график
• Преобразование рациональных выражений