Алгебраическая дробь

Научиться понимать, что такое алгебраическая дробь, когда она определена, и как её упрощать, используя основное свойство дроби.

Алгебраические дроби встречаются в физике (например, в формулах скорости или плотности), в экономике (расчёт долей и процентов) и в инженерии. Умение работать с ними позволяет решать уравнения, строить графики и анализировать реальные зависимости, где величины связаны отношениями.

• Алгебраическая дробь — это выражение вида P/Q, где P и Q — многочлены (или одночлены), причём Q содержит переменную.
• Дробь имеет смысл только тогда, когда знаменатель не равен нулю; значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль, исключаются из ОДЗ.
• Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, значение дроби не изменится.
• Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя на их общий множитель (многочлен или одночлен).
• Чтобы сложить или вычесть дроби, их нужно привести к общему знаменателю, как и в случае с обыкновенными дробями.
• Алгебраическая дробь — частный случай рационального выражения; рациональные выражения могут быть целыми (без деления на переменную) и дробными.

Алгебраическая дробь

Дробь, у которой числитель и знаменатель — алгебраические выражения (например, многочлены). Пример: (x+2)/(x-3).

Область допустимых значений (ОДЗ)

Множество всех значений переменной, при которых выражение имеет смысл. Для дроби это все числа, при которых знаменатель не равен нулю.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, то получится дробь, равная исходной.

Сокращение дроби

Деление числителя и знаменателя на их общий множитель, чтобы упростить дробь.

Рациональное выражение

Выражение, составленное из чисел, переменных и действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. Если есть деление на выражение с переменной, то это дробное рациональное выражение.

• Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Например, (x-1)/(x+2) = 0 при x=1, но не при x=-2.
• При сокращении дроби нельзя делить на выражение, которое может быть равно нулю, иначе потеряется ОДЗ. Например, сокращая (x(x-1))/(x-1), мы должны помнить, что x≠1.
• Чтобы найти ОДЗ дроби, нужно решить уравнение: знаменатель = 0, и исключить найденные корни.
• Алгебраические дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить по тем же правилам, что и обыкновенные дроби.
• При умножении дробей перемножаются числители и знаменатели; при делении дробь умножается на обратную.

1. Пример 1расчёт

   Скорость автомобиля

   Решение

   • если путь S км, а время t часов, то скорость v = S/t — это алгебраическая дробь, где S и t могут быть выражениями с переменными
2. Пример 2расчёт

   Плотность вещества

   Решение

   • ρ = m/V, где m — масса, V — объём
   • Если масса и объём зависят от переменной (например, температуры), получаем алгебраическую дробь
3. Пример 3случай

   В экономике

   Пояснение

   • доля прибыли компании, распределяемая между акционерами, может выражаться дробью, где числитель — прибыль, а знаменатель — количество акций

• Алгебраические дроби использовались ещё в древнем Вавилоне для расчёта долей наследства и земельных участков, хотя тогда не было буквенных обозначений.
• В физике формула для расчёта сопротивления при параллельном соединении проводников содержит алгебраическую дробь: 1/R = 1/R1 + 1/R2.
• Если в алгебраической дроби знаменатель — число, то это просто многочлен, а не дробь в смысле алгебры.

• Рациональные выражения
• Сложение и вычитание алгебраических дробей
• Умножение и деление алгебраических дробей
• Преобразование рациональных выражений
• Квадратные уравнения (для нахождения ОДЗ)