Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения

Научиться находить область допустимых значений переменных для алгебраических выражений.

В реальной жизни многие формулы (например, расчёт скорости, площади, процентов) содержат переменные, и важно понимать, какие значения можно подставлять, чтобы результат был реальным и не приводил к ошибкам (например, делению на ноль).

• Алгебраическое выражение имеет смысл только при тех значениях переменных, при которых все действия выполнимы.
• Деление на ноль невозможно, поэтому значения переменных, обращающие знаменатель в ноль, исключаются из допустимых.
• Квадратный корень из отрицательного числа не существует в действительных числах, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
• Для целых выражений (многочленов) допустимы все значения переменных.
• Для дробных выражений нужно исключить значения, при которых знаменатель равен нулю.
• Для выражений с корнем чётной степени нужно требовать, чтобы подкоренное выражение было больше или равно нулю.
• ОДЗ – это множество всех допустимых значений переменной, при которых выражение определено.

Алгебраическое выражение

Запись, составленная из чисел, переменных и знаков действий (сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня).

Переменная

Буква, вместо которой можно подставлять различные числа.

Допустимые значения переменной

Все те значения переменной, при которых алгебраическое выражение имеет смысл (все действия можно выполнить).

Область допустимых значений (ОДЗ)

Множество всех допустимых значений переменной для данного выражения.

Выражение, не имеющее смысла

Выражение, в котором при подстановке некоторого значения переменной получается невозможное действие (например, деление на ноль).

• На ноль делить нельзя! Если знаменатель дроби равен нулю, выражение не имеет смысла.
• Для выражения вида 1/x допустимы все x, кроме 0.
• Для выражения вида √x допустимы все x ≥ 0, так как корень из отрицательного числа не существует.
• Для дроби с корнем в знаменателе, например 1/√x, нужно, чтобы x > 0 (строго больше нуля), потому что корень должен быть определён и не равен нулю.
• Для многочлена, например 2x + 3, допустимы все значения x – любые числа.
• Если выражение содержит несколько ограничений, ОДЗ – это пересечение всех условий (например, для дроби с корнем в числителе и переменной в знаменателе).

1. Пример 1расчёт

   Выражение 5/(x-2)

   Решение

   • при x = 2 знаменатель равен 0, поэтому x = 2 недопустимо
   • ОДЗ: все числа, кроме 2
2. Пример 2случай

   Выражение √(3 - x)

   Пояснение

   • подкоренное выражение должно быть ≥ 0, значит 3 - x ≥ 0, откуда x ≤ 3. ОДЗ: x ≤ 3
3. Пример 3расчёт

   Выражение (x+1)/(x^2 - 4)

   Решение

   • знаменатель равен нулю при x = 2 и x = -2, поэтому эти значения исключаются
   • ОДЗ: x ≠ 2, x ≠ -2
4. Пример 4расчёт

   В жизни

   Решение

   • если вы считаете среднюю скорость по формуле v = S/t, то время t не может быть нулём – это и есть ограничение допустимых значений

• В древности математики не признавали отрицательные числа, поэтому для них выражение √x имело смысл только при x > 0, а ноль часто исключали.
• Понятие ОДЗ особенно важно в программировании: если программа попытается разделить на ноль, она выдаст ошибку и может «упасть».
• В физике деление на ноль в формуле может означать, что модель перестаёт работать (например, при расчёте скорости, если время равно нулю).

• Рациональные дроби
• Квадратные корни
• Решение неравенств
• Линейные уравнения