Основное свойство алгебраической дроби

Научиться понимать и применять основное свойство дроби для преобразования алгебраических дробей.

Без этого свойства невозможно сокращать дроби, приводить их к общему знаменателю, складывать и вычитать, а также решать многие уравнения. В жизни оно помогает быстро считать доли, масштабы, проценты и работать с пропорциями.

• Алгебраическая дробь — это выражение вида A/B, где A и B — многочлены (или одночлены), и B ≠ 0.
• Основное свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, то получится дробь, равная исходной.
• Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя на их общий множитель (число, переменную или многочлен).
• Приведение к общему знаменателю — это умножение числителя и знаменателя каждой дроби на дополнительный множитель.
• Свойство справедливо только для допустимых значений переменных, при которых знаменатель не равен нулю.
• Основное свойство позволяет заменять дробь на тождественно равную, что важно при упрощении выражений.

Алгебраическая дробь

Выражение вида P/Q, где P и Q — многочлены (или одночлены), причём Q не равен нулю.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, то значение дроби не изменится.

Сокращение дроби

Деление числителя и знаменателя на их общий множитель (отличный от нуля).

Общий знаменатель

Выражение, которое делится на знаменатели всех дробей без остатка; обычно берут наименьший общий знаменатель.

Дополнительный множитель

Выражение, на которое нужно умножить числитель и знаменатель дроби, чтобы привести её к новому знаменателю.

ОДЗ (область допустимых значений)

Множество значений переменных, при которых все знаменатели дробей не равны нулю.

• Для алгебраической дроби A/B выполняется: A/B = (A·C)/(B·C), где C ≠ 0.
• Сокращать можно только множители, а не слагаемые: (a+b)/a ≠ b, если только a+b не раскладывается на множители.
• При сокращении дроби мы делим числитель и знаменатель на общий множитель, например: (6x²y)/(3xy) = 2x (при x≠0, y≠0).
• Чтобы привести дробь к знаменателю 12a²b, нужно умножить числитель и знаменатель на дополнительный множитель (например, для дроби 1/(3a) дополнительный множитель 4ab).
• Основное свойство позволяет менять знаки: (a-b)/(b-a) = -1, так как (b-a) = -(a-b).
• При работе с дробями всегда нужно учитывать ОДЗ: переменные не должны обращать знаменатель в ноль.

1. Пример 1случай

   Если пиццу разрезать на 8 кусков и взять 4, это 4/8, а если на 2 куска и взять 1

   Пояснение

   • это 1/2. Дроби равны, потому что мы разделили числитель и знаменатель на 4
2. Пример 2расчёт

   В рецепте

   Решение

   • если нужно 2/3 стакана муки, а мерный стакан только на 1/6, то 2/3 = 4/6 — умножили числитель и знаменатель на 2
3. Пример 3расчёт

   При расчёте скорости

   Решение

   • если путь 120 км, а время 2 ч, то скорость 120/2 = 60 км/ч
   • Если выразить в минутах: 120/120 = 1 км/мин — дробь сокращена делением на 120

• Основное свойство дроби известно ещё с древних времён: его использовали египтяне при работе с аликвотными дробями (например, 1/2 = 2/4).
• В алгебре сокращение дробей часто называют «упрощением», и оно лежит в основе решения многих уравнений, например, пропорций.
• Знак «минус» перед дробью можно переносить в числитель или знаменатель, не меняя значения дроби: -a/b = a/(-b).

• Сложение и вычитание алгебраических дробей
• Умножение и деление алгебраических дробей
• Рациональные уравнения
• Преобразование рациональных выражений