Сокращение дробей

Научиться понимать, что сокращение дробей — это деление числителя и знаменателя на одно и то же число, и применять это для упрощения выражений.

Сокращение дробей делает числа меньше, а вычисления — проще и быстрее. Без этого навыка сложно решать уравнения, упрощать выражения и работать с процентами в реальной жизни, например, при расчёте скидок или долей.

• Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число, отличное от нуля.
• При сокращении значение дроби не меняется, меняется только её запись.
• Дробь можно сокращать до тех пор, пока числитель и знаменатель не станут взаимно простыми числами.
• Сокращение основано на основном свойстве дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, получится равная дробь.
• Сокращать можно только на общий делитель числителя и знаменателя.
• Несократимая дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1.
• Сокращение дробей применяется для упрощения алгебраических выражений и при решении уравнений.

Дробь

Число, которое показывает часть целого, записывается как a/b, где a — числитель, b — знаменатель.

Числитель

Число над чертой дроби, показывает, сколько частей взято.

Знаменатель

Число под чертой дроби, показывает, на сколько равных частей разделено целое.

Общий делитель

Число, на которое делятся и числитель, и знаменатель без остатка.

Наибольший общий делитель (НОД)

Самое большое число, на которое делятся оба числа без остатка.

Сократимая дробь

Дробь, у которой числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1.

Несократимая дробь

Дробь, у которой числитель и знаменатель взаимно просты, то есть их НОД равен 1.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, то получится дробь, равная данной.

• Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя на их общий делитель.
• Чтобы сократить дробь, можно найти НОД числителя и знаменателя и разделить на него.
• Дробь считается несократимой, если НОД числителя и знаменателя равен 1.
• Сокращение не меняет значение дроби: 6/8 = 3/4, обе дроби равны.
• Сокращать можно только на общий делитель, нельзя сокращать отдельно части числителя или знаменателя.
• При сокращении алгебраических дробей используют разложение на множители.

1. Пример 1расчёт

   Дробь 12/16 можно сократить

   Решение

   • НОД(12,16)=4, делим числитель и знаменатель на 4, получаем 3/4
2. Пример 2случай

   В жизни

   Пояснение

   • если пиццу разрезали на 8 кусков, а съели 6, то это 6/8, что равно 3/4 — то же самое количество, но записанное проще
3. Пример 3случай

   В алгебре

   Пояснение

   • дробь (x^2 - 1)/(x - 1) сокращается, если разложить числитель на (x-1)(x+1), и тогда получается x+1 (при x≠1)

• Сокращение дробей использовали ещё древние египтяне, но они записывали дроби только как суммы долей, например, 1/2 + 1/4.
• В математике есть понятие «несократимая дробь» — это дробь, которую нельзя упростить, и она считается самой простой формой записи.

• Основное свойство дроби
• Наибольший общий делитель
• Разложение многочленов на множители
• Алгебраические дроби