Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей

Научиться выполнять сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей, а также упрощать полученные выражения.

Алгебраические дроби встречаются в физике (например, при расчёте скорости, сопротивления), в экономике (проценты, доли) и в инженерии. Умение с ними работать позволяет решать уравнения, строить графики и моделировать реальные процессы.

• Алгебраическая дробь — это дробь, у которой числитель и/или знаменатель являются алгебраическими выражениями (многочленами).
• Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, то значение дроби не изменится.
• Сложение и вычитание алгебраических дробей выполняется только после приведения их к общему знаменателю.
• При умножении алгебраических дробей перемножаются числители и знаменатели отдельно.
• Деление алгебраических дробей заменяется умножением на дробь, обратную делителю.
• Перед выполнением действий с дробями полезно разложить числители и знаменатели на множители, чтобы упростить выражение.
• Важно помнить об области допустимых значений: знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Алгебраическая дробь

Выражение вида A/B, где A и B — многочлены (или одночлены), причём B содержит переменную.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, то получится дробь, равная исходной.

Общий знаменатель

Выражение, которое делится на знаменатели всех дробей, участвующих в сложении или вычитании.

Обратная дробь

Дробь, у которой числитель и знаменатель поменяны местами. Произведение дроби и обратной к ней равно 1.

ОДЗ (область допустимых значений)

Множество значений переменной, при которых выражение имеет смысл (знаменатель не равен нулю).

• Чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить или вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же.
• Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю, а затем действовать как с одинаковыми знаменателями.
• При умножении дробей: (a/b) * (c/d) = (a*c) / (b*d).
• При делении дробей: (a/b) : (c/d) = (a/b) * (d/c) = (a*d) / (b*c).
• Сокращать дроби можно только на общий множитель числителя и знаменателя, но не на слагаемые.
• Перед умножением и делением полезно разложить многочлены на множители, чтобы сократить общие части.

1. Пример 1расчёт

   Сложение

   Решение

   • 1/x + 2/x = (1+2)/x = 3/x (знаменатель одинаковый)
2. Пример 2расчёт

   Вычитание

   Решение

   • 3/(x+1) - 1/(x+1) = (3-1)/(x+1) = 2/(x+1)
3. Пример 3расчёт

   Умножение

   Решение

   • (2x/3) * (5/y) = (2x*5)/(3*y) = 10x/(3y)
4. Пример 4расчёт

   Деление

   Решение

   • (x/2) : (3/y) = (x/2) * (y/3) = xy/6
5. Пример 5расчёт

   Приведение к общему знаменателю

   Решение

   • 1/2 + 1/3 = (3+2)/6 = 5/6, аналогично для алгебраических дробей

• Алгебраические дроби использовались ещё в древнем Вавилоне для решения задач, связанных с дележом наследства и измерением земли.
• Понятие «алгебраическая дробь» в современном виде появилось в трудах арабских математиков, например аль-Хорезми, в IX веке.
• Если в алгебраической дроби заменить переменную числом, то она превращается в обычную числовую дробь, с которой мы умеем работать.

• Нельзя делить на ноль: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому при работе с переменными нужно учитывать ОДЗ.
• При сокращении дробей нельзя сокращать слагаемые, только множители.

• Преобразование рациональных выражений
• Решение дробных рациональных уравнений
• Функции y = k/x и их графики
• Тождественные преобразования выражений