Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби

Научиться выполнять действия с алгебраическими дробями и упрощать полученные выражения.

Умение преобразовывать алгебраические дроби необходимо для решения уравнений, неравенств, задач на движение и работу, а также для изучения функций и их графиков. Без этого навыка невозможно дальнейшее изучение математики и смежных наук.

• Алгебраическая дробь — это выражение вида A/B, где A и B — многочлены, причем B не равен нулю.
• Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, то получится равная дробь.
• Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя на их общий множитель (многочлен).
• Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю.
• При умножении дробей числители перемножаются, и знаменатели перемножаются.
• При делении дробей первую дробь умножают на дробь, обратную второй.
• При возведении дроби в степень возводят в эту степень числитель и знаменатель.
• При преобразованиях важно учитывать область допустимых значений (ОДЗ), чтобы не потерять корни или не получить недопустимые значения.

Алгебраическая дробь

Выражение вида A/B, где A и B — многочлены, а B не равен нулю. Например, (x+1)/(x-2).

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число или выражение, то получится дробь, равная исходной.

Сокращение дроби

Деление числителя и знаменателя на их общий множитель, чтобы упростить дробь. Например, (x^2-1)/(x-1) = x+1, если x≠1.

Общий знаменатель

Выражение, которое делится на знаменатели всех дробей, участвующих в выражении. Обычно это наименьшее общее кратное знаменателей.

Обратная дробь

Дробь, полученная перестановкой числителя и знаменателя. Например, обратная дробь для a/b — это b/a.

Тождество

Равенство, которое верно при всех допустимых значениях переменных. Например, (a/b)^2 = a^2/b^2.

• Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями: a/c + b/c = (a+b)/c.
• Правило умножения дробей: (a/b) * (c/d) = (a*c)/(b*d).
• Правило деления дробей: (a/b) : (c/d) = (a/b) * (d/c) = (a*d)/(b*c).
• Правило возведения дроби в степень: (a/b)^n = a^n / b^n, где n — натуральное число.
• Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно разложить знаменатели на множители, найти их НОК и умножить числители на дополнительные множители.
• При сокращении дроби можно сокращать только множители, а не слагаемые! Например, (x+2)/(x+3) сократить нельзя.

1. Пример 1расчёт

   Сложение дробей: 1/x + 1/y = (y + x)/(xy)

   Решение

   • как сложить 1/2 и 1/3: 3/6 + 2/6 = 5/6
2. Пример 2расчёт

   Умножение дробей

   Решение

   • (x^2 - 1)/(x+2) * (x+2)/(x-1) = (x^2 - 1)/(x-1) = (x-1)(x+1)/(x-1) = x+1, при x≠1 и x≠-2
3. Пример 3расчёт

   Деление дробей

   Решение

   • (a/b) : (c/d) = (a/b) * (d/c)
   • Например, (x/y) : (z/w) = (x*w)/(y*z)
4. Пример 4расчёт

   Возведение в степень: ((x+1)/x)^2 = (x+1)^2 / x^2

   Решение

   • как (2/3)^2 = 4/9

• Алгебраические дроби использовались ещё в древнем Вавилоне для решения задач, связанных с дележом наследства и измерением земли.
• Сокращение дробей — это, по сути, поиск общего множителя, что тесно связано с разложением многочленов на множители, которое пригодится при решении уравнений высших степеней.
• В физике алгебраические дроби часто встречаются в формулах, например, для вычисления сопротивления при параллельном соединении проводников: 1/R = 1/R1 + 1/R2.

• Рациональные выражения
• Разложение многочленов на множители
• Решение рациональных уравнений
• Функции и их графики