Контрольная работа по теме "Алгебраическая дробь"

Научимся видеть алгебраическую дробь как единый объект и понимать, какие преобразования с ней можно выполнять и почему.

Алгебраические дроби — это язык, на котором физика описывает скорость, химия — концентрацию, а экономика — проценты. Умение свободно обращаться с дробями — это база для решения уравнений, неравенств и функций, которые ждут нас в старших классах и в жизни.

• Алгебраическая дробь — это обобщение обыкновенной дроби, где вместо чисел могут стоять буквенные выражения.
• ОДЗ — это все допустимые значения переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в ноль.
• Основное свойство дроби позволяет умножать или делить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение, не меняя значение дроби.
• Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя на их общий множитель, что упрощает выражение.
• Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю.
• При умножении дробей перемножаются числители и знаменатели отдельно; при делении — дробь переворачивается и умножается.
• Любое рациональное выражение можно преобразовать в алгебраическую дробь, используя правила действий с дробями.

Алгебраическая дробь

Выражение вида A/B, где A и B — многочлены (или одночлены), а B содержит переменную и не равен нулю.

ОДЗ (область допустимых значений)

Множество всех значений переменных, при которых выражение имеет смысл (знаменатель не равен нулю).

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, то получится дробь, равная исходной.

Сокращение дроби

Деление числителя и знаменателя на их общий множитель, чтобы получить более простую дробь.

Общий знаменатель

Выражение, которое делится на знаменатели всех дробей, участвующих в выражении. Обычно это НОК знаменателей.

Рациональное выражение

Выражение, составленное из чисел, переменных и действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

• Знаменатель алгебраической дроби никогда не может быть равен нулю — это главное ограничение ОДЗ.
• Сокращать можно только множители (то, что перемножается), а не слагаемые. Например, в дроби (x+2)/(x+3) сократить x нельзя.
• При приведении к общему знаменателю нужно находить НОК знаменателей, а затем умножать числитель каждой дроби на дополнительный множитель.
• При умножении дробей: (a/b) * (c/d) = (a*c)/(b*d). При делении: (a/b) : (c/d) = (a*d)/(b*c).
• При возведении дроби в степень: (a/b)^n = a^n / b^n.
• Сумма и разность дробей с одинаковыми знаменателями: a/b ± c/b = (a±c)/b.

1. Пример 1расчёт

   Скорость автомобиля

   Решение

   • если путь S км, а время t часов, то скорость v = S/t — это алгебраическая дробь, где S и t могут быть переменными
2. Пример 2расчёт

   Концентрация раствора

   Решение

   • если в растворе a грамм соли и b грамм воды, то концентрация соли = a/(a+b) — дробь, показывающая долю соли
3. Пример 3расчёт

   Скидка в магазине

   Решение

   • если товар стоил x рублей, а скидка составляет y%, то новая цена = x * (100-y)/100 — здесь (100-y)/100 — алгебраическая дробь
4. Пример 4расчёт

   Средняя скорость

   Решение

   • если первую половину пути ехали со скоростью v1, а вторую — со скоростью v2, то средняя скорость = 2*v1*v2/(v1+v2) — красивая формула-дробь

• Слово «дробь» в русский язык пришло из арабского, где оно означало «ломать» — потому что дробь «ломает» целое число на части.
• Алгебраические дроби использовали ещё в Древнем Вавилоне, но тогда вместо букв были только числа, а буквенные обозначения появились лишь в XVI веке благодаря Франсуа Виету.
• Если в алгебраической дроби числитель и знаменатель — одинаковые выражения, то дробь равна 1 (при условии, что знаменатель не равен нулю).

• Рациональные уравнения
• Функция y = k/x и её график
• Преобразование рациональных выражений
• Степень с целым показателем
• Квадратные уравнения