Квадратное уравнение

Научиться понимать структуру квадратного уравнения, определять его коэффициенты и количество корней, а также решать его с помощью дискриминанта и теоремы Виета.

Квадратные уравнения описывают множество реальных процессов: движение тел под действием силы тяжести, расчёт площадей, экономические модели, инженерные расчёты. Умение решать их необходимо для сдачи ОГЭ и ЕГЭ, а также для изучения более сложных тем (квадратичная функция, неравенства, производные).

• Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.
• Коэффициент a называется старшим (или первым), b — вторым, c — свободным членом.
• Корнем квадратного уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
• Квадратное уравнение может иметь два, один или ни одного действительного корня — это определяется знаком дискриминанта.
• Дискриминант вычисляется по формуле D = b² − 4ac.
• Если D > 0, уравнение имеет два различных корня; если D = 0 — один корень (два совпадающих); если D < 0 — действительных корней нет.
• Теорема Виета связывает корни и коэффициенты приведённого квадратного уравнения: x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q.
• Неполные квадратные уравнения (когда b = 0 или c = 0) решаются без дискриминанта, разложением на множители или извлечением корня.

Квадратное уравнение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа, и a ≠ 0 (иначе оно станет линейным).

Старший коэффициент (a)

Число, стоящее перед x². Оно определяет, является ли уравнение квадратным, и влияет на направление ветвей параболы.

Второй коэффициент (b)

Число, стоящее перед x. Если b = 0, уравнение становится неполным.

Свободный член (c)

Число без переменной. Если c = 0, уравнение также неполное.

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент a = 1. Например, x² − 5x + 6 = 0.

Дискриминант

Выражение D = b² − 4ac, по знаку которого определяют количество корней уравнения.

Корень уравнения

Значение переменной x, при подстановке которого уравнение превращается в верное равенство.

Теорема Виета

Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение равно q.

• Формула корней: x = (−b ± √D) / (2a), где D = b² − 4ac.
• Если D > 0, то два корня: x₁ = (−b + √D) / (2a), x₂ = (−b − √D) / (2a).
• Если D = 0, то один корень: x = −b / (2a).
• Если D < 0, то действительных корней нет (в 8 классе).
• Неполное уравнение ax² + c = 0 решается переносом c и делением на a: x² = −c/a, затем извлечение корня (если −c/a ≥ 0).
• Неполное уравнение ax² + bx = 0 решается вынесением x за скобку: x(ax + b) = 0, откуда x = 0 или x = −b/a.
• Теорема Виета работает только для приведённого уравнения (a = 1). Если a ≠ 1, сначала делят обе части на a.
• Квадратное уравнение всегда имеет не более двух корней (с учётом кратности).

1. Пример 1расчёт
   • Уравнение 2x² − 4x + 2 = 0 имеет дискриминант D = (−4)² − 4·2·2 = 16 − 16 = 0
   • поэтому у него один корень x = 1. Это значит, что парабола касается оси x в одной точке
2. Пример 2случай
   • Уравнение x² − 5x + 6 = 0 (приведённое) решается по теореме Виета: сумма корней 5, произведение 6, значит корни 2 и 3
3. Пример 3расчёт
   • Неполное уравнение 3x² − 27 = 0: переносим 27, делим на 3
   • получаем x² = 9
   • значит x = 3 или x = −3
4. Пример 4расчёт

   В физике

   Решение

   • если бросить мяч вертикально вверх со скоростью 10 м/с, его высота через t секунд описывается уравнением h = 10t − 5t²
   • Чтобы узнать, когда мяч упадёт на землю (h = 0), решаем квадратное уравнение 10t − 5t² = 0, получаем t = 0 и t = 2 секунды

• Слово «дискриминант» происходит от латинского discriminare — «различать», потому что он различает, сколько корней у уравнения.
• Формулу корней квадратного уравнения знали ещё в Древнем Вавилоне около 2000 лет до н.э., но тогда использовали словесные описания, а не символы.
• Теорема Виета названа в честь французского математика Франсуа Виета, который жил в XVI веке и ввёл буквенные обозначения для коэффициентов.
• Квадратные уравнения помогают рассчитывать траекторию полёта мяча или ракеты: график движения — парабола, которая описывается квадратным уравнением.

• Линейные уравнения (7 класс)
• Квадратичная функция и её график (8 класс, далее)
• Разложение квадратного трёхчлена на множители
• Неравенства второй степени (9 класс)
• Системы уравнений с квадратными (9 класс)