Неполное квадратное уравнение

Научиться распознавать неполные квадратные уравнения и решать их тремя стандартными способами в зависимости от того, какой коэффициент отсутствует.

Неполные квадратные уравнения часто встречаются в физике (например, при расчёте времени падения тела), в геометрии (при нахождении сторон прямоугольника по площади) и в экономике (при расчёте точки безубыточности). Умение решать их быстро экономит время на контрольных и экзаменах, а также закладывает основу для понимания более сложных уравнений.

• Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, а хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.
• Если c = 0, уравнение имеет вид ax² + bx = 0 и решается разложением на множители: x(ax + b) = 0.
• Если b = 0, уравнение имеет вид ax² + c = 0 и решается переносом c вправо и извлечением квадратного корня.
• Если b = 0 и c = 0, уравнение имеет вид ax² = 0 и имеет единственный корень x = 0.
• Неполное квадратное уравнение никогда не требует использования формулы дискриминанта.
• При решении уравнения ax² + c = 0 важно помнить: если −c/a < 0, то корней нет (в действительных числах).
• Разложение на множители основано на свойстве: произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Квадратное уравнение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа, a ≠ 0, а x — переменная.

Коэффициенты a, b, c

Числа в квадратном уравнении: a — коэффициент при x², b — при x, c — свободный член (число без x).

Неполное квадратное уравнение

Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Корень уравнения

Значение переменной x, при подстановке которого уравнение превращается в верное числовое равенство.

Разложение на множители

Представление выражения в виде произведения нескольких множителей, например, x² + 3x = x(x + 3).

Равносильные уравнения

Уравнения, имеющие одинаковые корни (или оба не имеющие корней).

• Общий вид неполного квадратного уравнения: ax² + bx = 0 (c = 0), ax² + c = 0 (b = 0), ax² = 0 (b = 0 и c = 0).
• Уравнение ax² + bx = 0 всегда имеет два корня: x = 0 и x = −b/a (если a ≠ 0).
• Уравнение ax² + c = 0 имеет два корня x = ±√(−c/a), если −c/a > 0; один корень x = 0, если c = 0; не имеет корней, если −c/a < 0.
• Уравнение ax² = 0 всегда имеет единственный корень x = 0.
• При решении ax² + c = 0 нельзя делить обе части на x, так как можно потерять корень x = 0 (хотя в этом случае его нет, но в общем случае деление на x опасно).
• Формула дискриминанта для неполных уравнений не нужна — это упрощает вычисления и снижает риск ошибок.

1. Пример 1расчёт
   • Уравнение 3x² − 6x = 0 (c = 0). Разложим на множители: 3x(x − 2) = 0. Произведение равно нулю
   • значит 3x = 0 или x − 2 = 0. Корни: x = 0 и x = 2
2. Пример 2расчёт
   • Уравнение 2x² − 8 = 0 (b = 0). Переносим 8 вправо: 2x² = 8
   • делим на 2: x² = 4
   • извлекаем корень: x = ±2
3. Пример 3случай

   Уравнение 5x² = 0 (b = 0, c = 0). Делим на 5: x² = 0, значит x = 0

   Пояснение

   • единственный корень
4. Пример 4расчёт

   В физике

   Решение

   • время падения тела с высоты h без начальной скорости описывается уравнением gt²/2 = h
   • Если h = 20 м и g = 10 м/с², получаем 5t² = 20, то есть t² = 4, t = 2 с (отрицательный корень не имеет смысла)

• Слово «дискриминант» происходит от латинского discriminare — «различать», потому что он различает, сколько корней у уравнения. Но для неполных уравнений различать нечего — корни видны сразу.
• Неполные квадратные уравнения использовались ещё в Древнем Вавилоне около 2000 года до н.э. для решения задач о площадях полей.
• Уравнение x² = 2, которое является неполным, привело к открытию иррациональных чисел — древнегреческие математики обнаружили, что √2 нельзя представить дробью.

• Квадратные уравнения. Полные уравнения
• Формула корней квадратного уравнения
• Теорема Виета
• Квадратный корень из числа
• Разложение многочленов на множители