Математика · 8 класс · Математика ФГОС · урок 46 · только теория
Формула корней квадратного уравнения
Тема посвящена универсальной формуле, которая позволяет решать любое квадратное уравнение, даже если корни не подбираются устно. Мы разберём, как устроена эта формула, откуда она берётся и почему дискриминант так важен. Это ключевой инструмент алгебры, который пригодится и в геометрии, и в физике.
Чему учимся понимать
Научиться находить корни любого квадратного уравнения по формуле через дискриминант.
Зачем это нужно
Формула корней квадратного уравнения — это универсальный способ решения уравнений второй степени. Она применяется в физике (расчёт траекторий, задач на движение), в экономике (точки безубыточности), в инженерии (проектирование конструкций) и является основой для решения более сложных уравнений и неравенств.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.
- Дискриминант (D) вычисляется по формуле D = b² − 4ac и определяет количество корней.
- Если D > 0, уравнение имеет два различных корня.
- Если D = 0, уравнение имеет один корень (два совпадающих).
- Если D < 0, уравнение не имеет действительных корней.
- Корни уравнения находятся по формуле: x = (−b ± √D) / (2a).
- Формула корней выводится методом выделения полного квадрата из общего вида уравнения.
Определения
- Квадратное уравнение
- Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа, причём a ≠ 0 (иначе уравнение станет линейным).
- Коэффициенты
- Числа a, b и c в квадратном уравнении: a — старший коэффициент (при x²), b — средний (при x), c — свободный член.
- Дискриминант
- Число D = b² − 4ac, которое показывает, сколько корней имеет квадратное уравнение и существуют ли они вообще.
- Корень уравнения
- Значение переменной x, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.
- Формула корней
- Выражение x = (−b ± √D) / (2a), которое даёт корни квадратного уравнения через его коэффициенты.
Ключевые факты и правила
- Формула корней: x = (−b ± √D) / (2a), где D = b² − 4ac.
- Если D > 0, то √D — действительное число, и получаются два разных корня: x₁ = (−b + √D)/(2a) и x₂ = (−b − √D)/(2a).
- Если D = 0, то √D = 0, и оба корня совпадают: x = −b/(2a).
- Если D < 0, то √D не существует в действительных числах, поэтому уравнение не имеет корней.
- Если a = 0, уравнение не является квадратным, и формула корней не применяется (деление на ноль).
- Формула работает для любых коэффициентов, включая отрицательные и дробные.
Теория
Запишите уравнение в стандартном виде: ax² + bx + c = 0 (перенесите все члены в одну сторону).
Определите коэффициенты a, b, c (не забудьте про знаки).
Вычислите дискриминант D = b² − 4ac.
Сравните D с нулём: если D > 0 — два корня, D = 0 — один, D < 0 — корней нет.
Если D ≥ 0, подставьте значения в формулу x = (−b ± √D) / (2a) и упростите выражение.
Проверьте корни, подставив их в исходное уравнение.
Примеры
- Пример 1расчёт
- Уравнение x² − 5x + 6 = 0: D = 25 − 24 = 1 > 0
- корни x₁ = (5+1)/2 = 3
- x₂ = (5−1)/2 = 2
- Пример 2расчёт
- Уравнение x² − 2x + 1 = 0: D = 4 − 4 = 0
- корень x = 2/2 = 1 (единственный)
- Пример 3случай
- Уравнение x² + x + 1 = 0: D = 1 − 4 = −3 < 0, корней нет
- Пример 4расчёт
В физике
Решение
- время падения тела с высоты h описывается уравнением gt²/2 = h, которое решается через формулу корней
Интересно знать
- Слово «дискриминант» происходит от латинского discriminare — «различать», потому что он различает случаи количества корней.
- Формула корней была известна ещё в Древней Индии (Брахмагупта, VII век), но в современном виде её записал французский математик Франсуа Виет в XVI веке.
- Если D — точный квадрат (например, 16, 25), то корни уравнения будут рациональными числами, и их можно найти подбором.
Связанные темы
- Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения
- Теорема Виета
- Квадратный корень и его свойства
- Разложение квадратного трёхчлена на множители