Теорема Виета

Научиться устанавливать связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, а также применять эту связь для быстрого поиска корней и проверки решений.

Теорема Виета ускоряет решение многих практических задач, например, при настройке физических процессов, в экономике для расчета точек безубыточности, в программировании для оптимизации алгоритмов. Она также является основой для изучения многочленов высших степеней и теории уравнений в вузе.

• Теорема Виета применима только к квадратным уравнениям, имеющим корни (дискриминант неотрицателен).
• Для приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна -p, а произведение равно q.
• Для полного квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 сумма корней равна -b/a, а произведение равно c/a.
• Теорема Виета позволяет устно находить корни, если они целые или рациональные.
• Обратная теорема Виета позволяет составлять квадратное уравнение по известным корням.
• Теорема Виета является частным случаем более общих формул для многочленов (формулы Виета).
• Если сумма и произведение двух чисел равны соответственно -p и q, то эти числа являются корнями уравнения x² + px + q = 0.

Квадратное уравнение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа, причем a ≠ 0.

Приведенное квадратное уравнение

Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент a = 1. Обычно записывается как x² + px + q = 0.

Корень уравнения

Значение переменной x, при подстановке которого уравнение превращается в верное числовое равенство.

Сумма корней

Результат сложения всех корней уравнения. Для квадратного уравнения с корнями x₁ и x₂ это x₁ + x₂.

Произведение корней

Результат умножения всех корней уравнения. Для квадратного уравнения с корнями x₁ и x₂ это x₁ · x₂.

Дискриминант

Выражение D = b² - 4ac, по знаку которого определяют количество корней квадратного уравнения: если D > 0 — два корня, D = 0 — один корень, D < 0 — корней нет.

• Для приведенного уравнения x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = -p, x₁ · x₂ = q.
• Для полного уравнения ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = -b/a, x₁ · x₂ = c/a.
• Если дискриминант равен нулю, то корни совпадают (x₁ = x₂), и теорема Виета также работает: сумма равна 2x, произведение равно x².
• Теорема Виета верна только для действительных корней. Если корней нет (D < 0), то говорить о сумме и произведении некорректно.
• Обратная теорема: если числа m и n таковы, что m + n = -p и m · n = q, то m и n — корни уравнения x² + px + q = 0.

1. Пример 1расчёт
   • Уравнение x² - 5x + 6 = 0. Здесь p = -5
   • q = 6. По теореме Виета сумма корней равна 5
   • произведение равно 6. Подбором находим: 2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6, значит корни: 2 и 3
2. Пример 2расчёт
   • Уравнение x² + 4x - 5 = 0. Здесь p = 4
   • q = -5. Сумма корней = -4
   • произведение = -5. Подбор: -5 + 1 = -4
   • -5 · 1 = -5, корни: -5 и 1
3. Пример 3случай
   • В физике при расчете траектории полета снаряда часто получается квадратное уравнение
   • Зная корни (время достижения цели), можно быстро проверить, правильно ли решено уравнение, используя теорему Виета

• Франсуа Виет, в честь которого названа теорема, был адвокатом и советником короля Франции, а математику считал своим хобби.
• Теорема Виета обобщается на уравнения высших степеней: для кубического уравнения сумма корней равна -b/a, сумма попарных произведений равна c/a, а произведение равно -d/a.
• В Древнем Вавилоне за 2000 лет до Виета уже умели решать квадратные уравнения, но не использовали буквенные обозначения, поэтому теорема в таком виде не формулировалась.

• Квадратные уравнения (урок 47-48)
• Формула корней квадратного уравнения (урок 46)
• Разложение квадратного трехчлена на множители (урок 50)
• Решение задач с помощью квадратных уравнений (урок 51)