Простейшие дробно-рациональные уравнения

Научиться решать простейшие дробно-рациональные уравнения, правильно находить область допустимых значений и проверять корни.

Дробно-рациональные уравнения встречаются в физике (например, при расчёте скорости, времени, сопротивления), в экономике (пропорции, доли) и в повседневной жизни (деление ресурсов, смеси). Умение их решать — база для более сложных уравнений в старших классах и при подготовке к ОГЭ.

• Дробно-рациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная содержится в знаменателе дроби.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому для каждого уравнения нужно находить ОДЗ.
• Решение дробно-рационального уравнения сводится к умножению обеих частей на общий знаменатель и решению получившегося целого уравнения.
• После решения целого уравнения обязательно проверяем, не обращают ли найденные корни знаменатель в ноль.
• Корни, не входящие в ОДЗ, называются посторонними и исключаются из ответа.
• ОДЗ — это множество всех допустимых значений переменной, при которых уравнение имеет смысл.

Дробно-рациональное уравнение

Уравнение, в котором есть дробь, и переменная стоит в знаменателе этой дроби.

Область допустимых значений (ОДЗ)

Все значения переменной, при которых знаменатели дробей не равны нулю.

Общий знаменатель

Выражение, которое делится на каждый из знаменателей дробей в уравнении.

Посторонний корень

Корень, полученный после преобразований, но не удовлетворяющий исходному уравнению (например, из-за ОДЗ).

Рациональное выражение

Выражение, составленное из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.

Корень уравнения

Значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

• Если знаменатель дроби равен нулю, дробь не имеет смысла — это основа для нахождения ОДЗ.
• Чтобы решить дробно-рациональное уравнение, нужно умножить обе его части на общий знаменатель всех дробей.
• После умножения получается целое уравнение (линейное или квадратное), которое решаем обычными способами.
• Каждый найденный корень обязательно проверяем: подставляем в исходное уравнение или сверяем с ОДЗ.
• Если корень не входит в ОДЗ, он отбрасывается — даже если он удовлетворяет целому уравнению.
• Простейшее дробно-рациональное уравнение имеет вид: дробь равна числу или дробь равна дроби.

1. Пример 1расчёт

   Пример из жизни

   Решение

   • если автомобиль проехал 120 км со скоростью v км/ч, то время в пути равно 120/v
   • Уравнение 120/v = 2 — это дробно-рациональное уравнение, решая которое, находим скорость
2. Пример 2расчёт

   Пример из кулинарии

   Решение

   • для приготовления теста нужно взять муку и воду в отношении 3:1
   • Если количество воды x, то муки 3x
   • Уравнение 3x/x = 3 — дробно-рациональное, но здесь x не может быть нулём
3. Пример 3расчёт

   Пример из физики

   Решение

   • при расчёте сопротивления параллельных проводников используется формула 1/R = 1/R1 + 1/R2
   • Если одно сопротивление известно, а другое неизвестно, получается дробно-рациональное уравнение

• Термин «рациональный» происходит от латинского ratio — «отношение», поэтому рациональные уравнения — это уравнения с отношениями (дробями).
• В Древнем Египте дроби использовали только с числителем 1, и чтобы записать 2/3, приходилось придумывать специальный символ — это показывает, как непросто люди осваивали дроби.
• Посторонние корни появляются из-за умножения на выражение, которое может быть равно нулю, — это одна из причин, почему проверка обязательна.

• Рациональные выражения и их преобразования
• Линейные уравнения
• Квадратные уравнения
• Пропорции и отношения