Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Научиться переводить условие текстовой задачи в квадратное уравнение и понимать, как интерпретировать полученные корни в контексте задачи.

Умение решать такие задачи — это база для физики (расчёт пути, времени), экономики (прибыль, издержки) и геометрии (поиск сторон по площади). В жизни это навык просчитывать варианты: например, определить, за сколько часов можно сделать работу, или какой длины должен быть забор, чтобы площадь участка была нужной.

• Решение любой текстовой задачи сводится к трём этапам: составление уравнения, его решение и интерпретация результата.
• Квадратное уравнение возникает, когда в условии есть произведение двух величин (например, скорость умножить на время, или длину на ширину).
• Корни квадратного уравнения могут быть как положительными, так и отрицательными, но в контексте задачи (длина, время, скорость) отрицательные значения часто не имеют физического смысла.
• При решении задач на движение удобно обозначать неизвестную величину за x, а затем выражать через неё остальные данные (например, время = путь / скорость).
• В задачах на работу за 1 (единицу) часто принимают всю работу, а производительность — это часть работы, выполненная за единицу времени.
• Если в уравнении получаются два корня, нужно проверить, какой из них удовлетворяет условию задачи (например, скорость не может быть отрицательной).
• Квадратное уравнение может иметь один корень (когда дискриминант равен нулю), и это тоже полноценный ответ для задачи.

Текстовые задачи на движение

Задачи, в которых объект движется с некоторой скоростью, и нужно найти путь, время или скорость, используя формулу: путь = скорость × время.

Текстовые задачи на работу

Задачи, где несколько объектов (людей, машин) выполняют некоторую работу. Вся работа принимается за 1, а производительность — это часть работы, сделанная за единицу времени.

Квадратное уравнение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа, причём a ≠ 0. В текстовых задачах оно получается после переноса всех слагаемых в одну сторону.

Дискриминант

Число, вычисляемое по формуле D = b² − 4ac. По его знаку определяют, сколько корней имеет квадратное уравнение: если D > 0 — два корня, D = 0 — один корень, D < 0 — корней нет.

Математическая модель

Краткая запись условия задачи с помощью букв, чисел и знаков действий. Это уравнение, которое отражает связи между величинами из условия.

Производительность труда

Количество работы, выполненное за единицу времени (например, за 1 час). Если вся работа равна 1, то производительность = 1 / время выполнения всей работы.

• Формула пути: S = v · t, где S — путь, v — скорость, t — время. Из неё выражают скорость: v = S / t, и время: t = S / v.
• В задачах на движение по реке: скорость по течению = собственная скорость + скорость течения; скорость против течения = собственная скорость − скорость течения.
• Если в задаче сказано «на 3 км/ч больше», то это значит, что к одной скорости прибавляют 3, а если «в 2 раза меньше», то делят на 2.
• В задачах на работу: если первый делает работу за 5 часов, а второй за x часов, то их производительности равны 1/5 и 1/x соответственно.
• При решении квадратного уравнения через дискриминант, корни находятся по формуле: x = (−b ± √D) / (2a).
• Проверка корней: подставьте найденное значение в исходное уравнение, чтобы убедиться в правильности, и проверьте, имеет ли смысл ответ в контексте задачи (например, время не может быть отрицательным).

1. Пример 1случай

   Задача на движение

   Пояснение

   • поезд проходит расстояние 120 км
   • Если бы его скорость была на 10 км/ч больше, он бы пришёл на 1 час раньше
   • Здесь за x берут скорость поезда, тогда время в первом случае 120/x, во втором 120/(x+10), и разница равна 1
2. Пример 2расчёт

   Задача на работу

   Решение

   • два крана наполняют бассейн за 6 часов
   • Первый кран наполняет бассейн за x часов, а второй — за x+5 часов
   • Производительности складываются: 1/x + 1/(x+5) = 1/6
3. Пример 3расчёт

   Геометрическая задача

   Решение

   • длина прямоугольника на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см²
   • Если ширина x, то длина x+4, и уравнение: x(x+4) = 60
4. Пример 4расчёт

   Задача на движение по реке

   Решение

   • катер прошёл 15 км по течению и 15 км против течения, затратив на весь путь 4 часа
   • Скорость течения 2 км/ч
   • Собственная скорость катера x, тогда время: 15/(x+2) + 15/(x−2) = 4

• Слово «дискриминант» происходит от латинского discriminare — «различать», потому что это число различает, сколько корней у уравнения.
• Квадратные уравнения умели решать ещё в Древнем Вавилоне около 2000 лет до нашей эры, но тогда их записывали словами, а не формулами.
• В задачах на движение часто используется хитрость: если два объекта вышли навстречу друг другу, то их общая скорость равна сумме скоростей, а если один догоняет другого — то разности.

• Квадратные уравнения (урок 51–54)
• Формула корней квадратного уравнения
• Решение задач с помощью линейных уравнений (7 класс)
• Теорема Виета (урок 56)