Контрольная работа по теме "Квадратные уравнения"

Систематизировать и закрепить теоретические знания о квадратных уравнениях: от определения до выбора рационального метода решения.

Квадратные уравнения — это фундамент для изучения более сложных тем (квадратичная функция, неравенства, уравнения высших степеней). Они широко применяются в физике (например, для расчёта траекторий), экономике (для нахождения точек безубыточности) и даже в архитектуре. Умение решать их — обязательный навык для дальнейшего изучения математики и смежных наук.

• Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.
• Коэффициенты a, b и c имеют свои названия: a — старший (первый) коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.
• Корнем квадратного уравнения называется такое значение переменной x, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
• Количество корней квадратного уравнения зависит от знака дискриминанта D = b² – 4ac: если D > 0 — два различных корня, D = 0 — один корень (два совпадающих), D < 0 — корней нет.
• Корни квадратного уравнения можно найти по формуле: x₁,₂ = (–b ± √D) / (2a).
• Если в квадратном уравнении b = 0 или c = 0, то оно называется неполным и решается разложением на множители или извлечением корня, что проще, чем общая формула.
• Теорема Виета позволяет находить корни приведённого квадратного уравнения (где a = 1) без вычисления дискриминанта, если корни целые или рациональные.

Квадратное уравнение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.

Старший коэффициент (a)

Число, стоящее перед x². Оно не может быть нулём, иначе уравнение станет линейным.

Второй коэффициент (b)

Число, стоящее перед x. Может быть любым, в том числе нулём.

Свободный член (c)

Число, не содержащее переменную. Может быть любым, в том числе нулём.

Дискриминант (D)

Выражение D = b² – 4ac, по знаку которого определяют количество корней квадратного уравнения.

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент a = 1. Например, x² – 5x + 6 = 0.

Неполное квадратное уравнение

Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Например, 2x² – 8 = 0 или 3x² + 6x = 0.

• Формула дискриминанта: D = b² – 4ac.
• Формула корней: x₁,₂ = (–b ± √D) / (2a).
• Если D > 0, уравнение имеет два различных корня; если D = 0 — один корень (x = –b / 2a); если D < 0 — корней нет.
• Неполные уравнения: ax² + c = 0 решаются переносом c и извлечением квадратного корня (если –c/a > 0); ax² + bx = 0 решаются вынесением x за скобки.
• Теорема Виета: для уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна –p, а произведение равно q.
• Любое квадратное уравнение можно решить по общей формуле, но иногда рациональнее использовать частные методы (вынесение множителя, теорема Виета).

1. Пример 1расчёт
   • Уравнение 2x² – 4x + 2 = 0 имеет дискриминант D = (–4)² – 4·2·2 = 16 – 16 = 0
   • поэтому у него один корень x = 4 / (2·2) = 1
2. Пример 2расчёт
   • Неполное уравнение 3x² – 12 = 0 решается так: 3x² = 12
   • x² = 4
   • x = ±2
3. Пример 3расчёт
   • Неполное уравнение x² – 5x = 0 решается вынесением x: x(x – 5) = 0
   • откуда x = 0 или x = 5
4. Пример 4случай

   Для уравнения x² – 7x + 12 = 0 по теореме Виета сумма корней равна 7, а произведение

   Пояснение

   • 12. Подбором находим корни 3 и 4

• Слово «дискриминант» происходит от латинского discriminare — «различать», потому что он позволяет различать случаи количества корней.
• Квадратные уравнения умели решать ещё в Древнем Вавилоне около 2000 лет до н.э., но тогда использовали словесные алгоритмы, а не формулы.
• Теорема Виета была сформулирована французским математиком Франсуа Виетом в XVI веке, но в то время она касалась только положительных корней.

• Квадратичная функция и её график (парабола)
• Решение неравенств второй степени
• Теорема Виета и разложение квадратного трёхчлена на множители